Aquí está una pesada maquinaria de la prueba de la fuga $R^if_*V$. Se utiliza la noción coherente de $\mathcal{O}_X$-módulos y espacios complejos, ya que tenemos que trabajar en las fibras que pueden no ser los colectores.
Voy a tratar de dar una respuesta de tal manera que el conocimiento de una estructura de módulos y espacios complejos no es necesario con el fin de seguir la lógica como usted confiar en mí en todo lo que estoy adjuntando los grandes nombres.
(Solo imagina coherente módulo de medios vector paquete y complejo espacio de los medios complejo colector.)
Teorema (Andreotti-Grauert) - Para cualquier espacio complejo $X$ y cada coherentes $\mathcal{O}_X$-módulo de $F$ la gavilla cohomology grupo $H^i(X,F)$ desaparece tan pronto como $i>\dim(X)$.
(Ver, por ejemplo, Corolario 4.15 en Demailly del Complejo Analítica y Geometría Diferencial.)
Tenga en cuenta que este es precisamente el reclamo en caso de $Y$ es sólo un punto.
Corolario - Deje $f\colon X\to Y$ ser un adecuado holomorphic mapa entre la reducción de los espacios complejos y deje $d$ ser la máxima dimensión de las fibras de $f$ alcanzar. A continuación, $R^if_*(F) = 0$ para todos coherentes $\mathcal{O}_X$-módulos de $F$ y todos los $i>d$. Más precisamente, para que cada $y\in Y$, $(R^if_*(F))_y = 0$ para todos los $i>\dim(f^{-1}(y))$.
Prueba.
Basta probar que la terminación $(R^if_*F)_y^\wedge = (R^if_*F)_y\otimes_{\mathcal{O}_{Y,y}} \mathcal{O}_{Y,y}^\wedge$ se desvanece para todos los $i>d$ desde la finalización de la $\mathcal{O}^\wedge_{Y,y}$ $\mathcal{O}_{Y,y}$ con respecto a la máxima ideal es fielmente plana.
Por Grauert del teorema de comparación (en el algebro-geométrico mundo, también conocido como el Teorema de las funciones formales), para cada una de las $y\in Y$, la finalización de la paja en $y$, $(R^qf_*F)_y^\wedge$, es isomorfo a un límite
$$(R^qf_*F)^\wedge_y\cong \varprojlim\nolimits_k H^i\left(f^{-1}(y),F_{(k)}\right)$$
por cierto coherente con poleas $F_{(k)}$, $k\in\mathbb{N}$, en la fibra,$f^{-1}(y)$. Por lo tanto, si $i>\dim(f^{-1}(y))$,$(R^qf_*F)_y = 0$. Por lo tanto, si $i>d = \max_{y\in Y}\{\dim(f^{-1}(y))\}$,$R^qf_*F = 0$, como se reivindica.
Gracias a la localización del comentario de abajo, podemos concluir:
Corolario - Deje $f\colon X\to Y$ ser un adecuado holomorphic mapa entre espacios complejos y deje $d$ ser la máxima dimensión de las fibras de $f$ alcanzar. A continuación, $H^p(R^qf_*(F)) = 0$ para todos coherentes $\mathcal{O}_X$-módulos de $F$ $i>d$ y todos los $q$.
Siguiente, tenga en cuenta que nosotros no podemos sustituir "máxima de la fibra de la dimensión' por $\dim(X)-\dim(Y)$. Deje $Y$ ser cualquier superficie lisa y deje $f\colon X\to Y$ ser el golpe de algún punto de $y\in Y$. Eso es claramente un adecuado surjective mapa de los complejos colectores e $\dim(X)-\dim(Y) = 0$.
La gavilla $R^1f_*F$ es compatible en $y$ $H^0(Y,R^1f_*F) = (R^1f_*F)_y$ para cualquier coherente gavilla $F$$X$. Por lo tanto, sólo tenemos que encontrar un vector paquete en la $Y$ tal que $R^1f_*F \not=0$. Echemos un vistazo a la línea de paquete de $F := \mathcal{O}_Y(2E)$ donde $E\subset Y$ es el divisor excepcional.
Vamos a utilizar Grauert del teorema de comparación, por lo que tengo que decirle a usted lo que el $F_{(k)}$ están: El ideal de la gavilla de $E$$Y$$\mathcal{O}_X(-E)$$F_{(k)} = F\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-kE)$.
Tenga en cuenta que $$\mathcal{O}_X(-kE)/\mathcal{O}_X(-(k+1)E) = \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-E)\otimes \mathcal{O}_X(-kE) = \mathcal{O}_E\otimes \mathcal{O}_X(-kE) = \mathcal{O}_E(k)$$
desde la normal paquete de $E$$X$$\mathcal{O}_E(-1)$.
Por la misma razón, $F_{(1)} = F\otimes \mathcal{O}_{E} = \mathcal{O}_{E}(-2)$ y recibimos cada $F_{(k)}$ sentado en la secuencia exacta
$$0\to \mathcal{O}_E(k-2) \to F_{(k+1)}\to F_{(k)}\to 0.$$
Desde $H^1(E,\mathcal{O}_E(n))=0$ todos los $n\geq -1$ esto implica que $H^1(E,F_{(k+1)})\cong H^1(E,F_{(k)})$ todos los $k\geq 1$; por lo tanto, el límite en Grauert la comparación es constante:
$$(R^1f_*F)^\wedge_y \cong \varprojlim\nolimits_k H^1\left(E,F_{(k)}\right) = H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-2))\not=0$$
y por lo $R^1f_*F\not=0$.
Esto también muestra que $H^0(Y,R^qf_*V)$ no necesita desaparecer para $q>\dim(X)-\dim(Y)$. Ahora, no tengo un contra-ejemplo para $p>0$.
