Dificultades en la evaluación del límite del producto

Question

Estoy tratando de resolver más allá del problema de examen del año. Necesito mostrar que $\lim _{n\to \infty }\left(\left(1+\frac{1}{n^4}\right)\left(1+\frac{2^4}{n^4}\right)^{1/2}\left(1+\frac{3^4}{n^4}\right)^{1/3}..\left(2\right)^{1/n}\right)= e^{\pi^2/32}$.

Estoy completamente pegado. Necesito ayuda para resolver este problema. Gracias

Answer 1

Continuando con la respuesta de Jaideep Khare, $$ \begin{align}\int_0^1 \frac 1x \ln \left(1+x^4\right) d x&=\int0^1 \frac{1}{x} \left(\sum{i=1}^\infty(-1)^{i+1}\frac{x^{4i}}{i}\right)\,dx\ &=\int0^1 \sum{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \frac{x^{4i-1}}{i} \,dx\ &=\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \int0^1 \frac{x^{4i-1}}{i}\,dx \ &= \sum{i=1}^\infty (-1)^{i+1}\frac{1}{4i^2} \ &=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i^2} \ &= \frac{\pi^2}{32}\end{alinee el} $$ la suma final es un resultado estándar (o lema) relacionados con el problema de Basilea. Intercambio de la suma límite necesita ser justificado, dejo al lector.

Answer 2

Que %#% $ #%

Tomando el $${\rm A}=\lim _{n\to \infty }\left(\left(1+\frac{1}{n^4}\right)\left(1+\frac{2^4}{n^4}\right)^{1/2}\left(1+\frac{3^4}{n^4}\right)^{1/3}..\left(2\right)^{1/n}\right)$ ambos lados,

$\ln$$

$$\ln {\rm A} =\lim{n \to \infty} \sum{r=1}^n \frac 1r \ln \left( 1+ \left( \frac rn \right)^4 \right)$$