Primos de la forma $2^p-p$ o $2^p+p$ $p$ primer

Question

Tengo que encontrar algunos números primos de la forma $2^p-p$ o $2^p+p$ $p$ un primer número. La pregunta es ¿cuántos de estos números primos hay?

No tengo ninguna pista de cómo esto se puede hacer. Gracias y por favor perdonen a mi inglés.

Answer 1

Que $p_1 = 2^p + p$ y $p_2 = 2^p - p$. Trivial, $p = 3$ es una solución. Que $p > 3$. Entonces o $p$ es de la forma $6k+1$ o es de la forma $6k+5$.

Caso 1: $p$ es de la forma $6k+1$. En este caso, $p_1 \equiv 2^{6k+1} + 6k + 1 \equiv 64^k2 + 1 \equiv 4^k2 + 1 \equiv 4*2 + 1 \equiv 3(\mod 6)$ por lo tanto, $p_1$ no puede ser un primer.

Caso 2: $p$ es de la forma $6k+5$. En este caso, $p_2 \equiv 2^{6k+5} - 6k - 5 \equiv 3 (\mod 6)$ por lo tanto, $p_2$ no puede ser un primer.

Por lo tanto la única solución es cuando $p = 3$.