Quiero encontrar $$ I \ = \ \int_{C(0,2)^+} \frac{z^3}{z^3+z^2-z-1} $$ Primero de todo, yo sé que $z^3+z^2-z-1 = (z+1)^2(z-1)$. Me separé de la integral como una suma de residuos: $$ I \ = \ 2\pi i \cdot Res_{z=-1}\frac{z^3}{(z+1)^2\cdot(z-1)} \ + 2 \pi i \cdot Res_{z=1}\frac{z^3}{(z+1)^2\cdot(z-1)} $$ La parte trasera se convierte en $2 \pi \cdot 1^3/(1+1)^2 \ = \ \pi i /2$. El mismo truco, no puede ser aplicada para la otra parte. Hubo otro lema que fue útil, aunque: $$ Res_{z=1}f(x) \ = \ \frac{1}{(2-1)!} \cdot \lim_{z \rightarrow -1}\left( (z+1)^2 \cdot \frac{z^3}{(z+1)^2(z-1)}\right) \ = \ \frac{1}{(1+1)^2} \ = \ \frac{1}{4} $$ Ahora, tendría que multiplicar esto por $2 \pi i$, lo que me da $\pi \cdot i /2$. Añadiendo nos da $\pi i $. Podría usted por favor marque lo que yo hice y que me diga si puedo esta es la manera correcta de solucionar esto?
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Malinterpretar el otro lema, tienes
$$\operatorname{Res}\left(\frac{f(z)}{(z+1)^2}; -1\right) = \frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\to -1}\left(\frac{d}{dz}\right)^{2-1}\left((z+1)^2\frac{f(z)}{(z+1)^2}\right) = f'(-1);$$
olvidó tomar el derivado correspondiente.
Aquí $f(z) = \frac{z^3}{z-1}$, por lo que
$$f'(z) = \frac{(z-1)3z^2 - z^3}{(z-1)^2} = \frac{2z^3 - 3z^2}{(z-1)^2}$$
y $f'(-1) = -\frac{5}{4}$.
El cálculo de los residuos de $\frac{z^3}{(z+1)^2(z-1)}$ $z=+1$ es correcto, pero creo que hay un error en el cálculo de a $z=-1$. (Voy a ser ligeramente informal aquí, pero esto puede hacerse fácilmente formal.)
Si usted tiene una Laurent expansión de la serie $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-a)^n$, entonces el residuo de a $a$ es simplemente el coeficiente de $a_{-1}$.
Estamos interesados en calcular el residuo de
$$\frac{z^3}{(z+1)^2(z-1)}$$
en $z=\pm 1$.
Si $z=-1$, luego de observar que podemos reescribir esta expresión como un cociente $\frac{\frac{z^3}{(z-1)}}{(z+1)^2}$. El numerador $\frac{z^3}{(z-1)}$ es holomorphic en un barrio de $z=-1$, por lo que admite una expansión en series de Taylor $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z+1)^n$. Estamos interesados en el coeficiente de $\frac{1}{z+1}$ en el Laurent expansión de la serie de $\frac{\frac{z^3}{(z-1)}}{(z+1)^2}$ - sin embargo, esto es simplemente $a_1$!
Ahora, para arreglar su cálculo, tenga en cuenta que $a_1$ es la derivada en $z=-1$$\frac{z^3}{(z-1)}$, y este es también el residuo de a $z=-1$$\frac{z^3}{(z+1)^2(z-1)}$. (Ejercicio)
El cálculo de los residuos de $\frac{z^3}{(z+1)^2(z-1)}$ $z=+1$ es correcto, como he dicho, y puede ser calculado usando el razonamiento anterior. Como se nota, que esta vez reescribir $\frac{z^3}{(z+1)^2(z-1)}$ $\frac{\frac{z^3}{(z+1)^2}}{z-1}$ donde el numerador es holomorphic en un barrio de $z=+1$. Por lo tanto, es evidente que una vez que ampliamos esta como una de la serie de Laurent en $z=+1$, el residuo será simplemente el valor del numerador en $z=+1$, es decir, el valor de $\frac{z^3}{(z+1)^2}$$z=+1$, es decir, $\frac{1}{4}$.
La respuesta final puede ser calculado (como ya observar) mediante la adición de los residuos de $\frac{z^3}{(z+1)^2(z-1)}$ $z=\pm 1$ y multiplicando el resultado por $2\pi i$. (No creo que su respuesta final es correcto, como el cálculo de los residuos en $z=-1$ no es correcta por lo que la respuesta final debe ser recalculado.)
Espero que esto ayude!
