¿El cociente $M/M^2$ es de dimensión finita sobre $R/M$ en un anillo local noetheriano?

Question

Tengo que $R$ es un anillo local noetheriano con ideal maximal $M$, y quiero demostrar que $M/M^2$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo $R/M$.

Creo que he demostrado esto (aunque podría estar equivocado), pero no utilicé el hecho de que $R$ fuera local, así que me pregunto si es necesario:

Dado que $R$ es noetheriano, $M$ es finitamente generado, digamos por $x_1,\ldots, x_n$. Ahora, sea $m+M^2\in M/M^2$. En primer lugar, podemos escribir $m=r_1x_1+\cdots+r_nx_n$. Ahora afirmo que $m+M^2=(r_1+M)x_1+\cdots+(r_n+M)x_n+M^2$, lo cual creo que es equivalente a decir que para cualquier $m'\in M, m-r_1x_1-\cdots-r_nx_n-m'(x_1+\cdots+x_n)\in M^2$, lo cual es verdadero porque todo, excepto el último término, se cancela a $0$, y el último término es el producto de dos elementos de $M$. Sin embargo, tengo la sensación de que esta demostración no está completa/correcta, ya que no utilicé el hecho de que $R$ es un anillo local. ¿Es ese hecho necesario?

Answer 1

Su demostración es básicamente correcta, pero quizás sea útil mirar una situación más general (de hecho, es irrelevante que $R$ sea local, teniendo en cuenta que, sobre un campo, un módulo finitamente generado es lo mismo que ser de dimensión finita). Sea $R$ un anillo y $M$ un $R$-módulo finitamente generado. Entonces, para cualquier ideal $I$ de $R$, $M/IM$ es un $R/I$-módulo finitamente generado. La demostración es como sugiere. Tomamos un conjunto de generadores $x_1,\ldots,x_n$ para $M$ como un $R$-módulo. Luego, también generan $M/IM$ sobre $R/I$: si $x\in M$, escribimos $x=\sum_i r_ix_i$, y luego, tomando módulo $IM$, tenemos $x+IM=\sum_i (r_i+I)(x_i+IM)$. Esta igualdad se cumple porque la definición de la estructura de módulo $R/I$ en $M/IM$ es $(r+I)(x+IM)=rx+IM.