Intenté resolver esto asumiendo$α=a+bi$,$β=c+di$ y$γ=e+fi$, y resolviendo explícitamente esto con$a+c+e=1$,$b+d+f=0$, y similarmente para$αβγ=1$. ¿Hay algún otro enfoque más fácil para este problema? Sé que$(1, i, -i)$ es un par de solución. Pero ¿hay alguna otra?
Respuestas
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Desde $\alpha, \beta,\gamma$ divide $1$, they are all units. The group of units is just ${\pm 1, \pm i}$. If any of $\alpha,\beta,\gamma$ are equal from that list they cannot add to $1$ while simultaneously multiplying to $1$, and with three distinct $\alpha,\beta,\gamma$, there will always be a pair which are additive inverses, hence the third must be $1$, and the other two must be $\pm i$.
Evan Trimboli
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Ignorando fin, ha encontrado la única solución posible. Si $\alpha \beta \gamma = 1$, entonces es una condición necesaria pero no suficiente de que la norma de la función de dar $N(\alpha \beta \gamma) = 1$. Esto reduce las opciones a las unidades, 1, $-1$, $i$, $-i$ para cada una de las tres variables.
Pero $\alpha + \beta + \gamma = 1$ significa que $\alpha + \beta = 0$ (usted podría decidir llevar a cabo una variable diferente, pero eso no va a cambiar el resultado final). Por lo tanto,$\alpha = -\beta$$\beta = -\alpha$. Y, por supuesto,$\gamma = 1$.
Así que, esencialmente, esto se reduce a dos posibles soluciones. $\alpha = 1$ $\beta = -1$ obras para la adición, pero no de la multiplicación: $\alpha \beta \gamma = -1$, no 1. Esto deja a la solución que ya se ha encontrado: $\alpha = i$, $\beta = -i$. Esto funciona debido a que $\alpha + \beta = 0$$\alpha \beta = 1$, por lo tanto $\alpha + \beta + \gamma = \alpha \beta \gamma = 1$ como se desee.
EDIT: Esta es la forma que tengo de $\alpha + \beta + \gamma = 1$$\alpha + \beta = 0$: me resta 1 de ambos lados para obtener $\alpha + \beta + \gamma - 1 = 0$. Si $\gamma = 1$, $\gamma - 1 = 0$ "$\gamma - 1$ " puede ser removido de la ecuación.
2ª EDICIÓN: parece perfectamente obvio para mí por qué, al menos, uno de $\alpha$, $\beta$ o $\gamma$ tiene que ser 1. Pero ya no quiero que nadie a decir que sólo he copiado su respuesta, voy a probar esto por fuerza bruta:
- $\alpha = \beta = \gamma \neq 1$ no puede trabajar debido a $u^n = 1$ $u$ una unidad distinta de 1 requiere un exponente o doblemente incluso exponente.
- $i, -1, -1$ no trabaja para la multiplicación.
- $i, i, -1$ trabaja para la multiplicación, pero no de la adición.
- $i, i, -i$ no trabaja para la multiplicación.
- $i, -i, -i$ no trabaja para la multiplicación.
- $-i, -i, -1$ no trabaja para la multiplicación.
- $i, -i, -1$ no trabaja para la adición.
No necesito escuchar la crítica de este ser ineficaz, pero necesito saber si me olvidé de cubrir uno o dos casos.
Ataulfo
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Tomando el tenemos normas $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2) = 1$ $\mathbb{Z}$ entonces las soluciones solamente aquí son $\pm 1$ y $0$ para cada factor. Por otro lado, $a + c + e = 1$ y $b + d + f = 0$ poner restricciones a considerar para la soluciones $x + yi = (\pm 1, 0), (0, \pm 1)$ $x = a, c, e$ y $y = b, d, f$. Las soluciones sólo para el sistema son $(\alpha, \beta, \gamma) = (1, \pm i, \mp i)$, $(\pm 1, \mp 1, 1)$ (no se olvide de $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[i]$) y todas las permutaciones correspondientes que podrían tomarse como equivalentes.
