Muestra que $ \lim_ {x→0+ } x^{−1/2}f(x)$ y determinar el valor de este límite.

Question

Deje que $f : [0,1] → \mathbb {R}$ ser absolutamente continuo, satisfacer $f(0) = 0$ y $f′ ∈ L_2([0,1]).$ Muestra que $ \lim_ {x→0+ } x^{−1/2}f(x)$ y determinar el valor de este límite.

Desde la continuidad absoluta tenemos que $f'$ existe casi en todas partes. Quería decir que $f(1) - \lim_ {x \rightarrow 0^+}x^{-1/2}f(x)$ = $ \int $$ _{0}^1 $$ \frac {d}{dx}(x^{-1/2}$$ f(x)) $$dx$ y el espectáculo que esto tiene $L_1$ norma finita que muestra que el límite existe. Pero esto no ha funcionado todavía.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Pista: Desde $f$ es absolutamente continuo y $f(0) = 0$ Tenemos

$$f(x) = \int_0 ^x f'(t)\,dt.$$

Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y luego usar el teorema de la convergencia dominada para mostrar que el límite es $0$ .

La desigualdad del Cáucaso-Schwarz da lugar a

$$ \lvert f(x) \rvert \leqslant \int_0 ^x \lvert f'(t) \rvert\ ,dt \leqslant \left ( \int_0 ^x 1^2\,dt \right )^{1/2} \left ( \int_0 ^x \lvert f'(t) \rvert ^2\,dt \right )^{1/2} = \sqrt {x} \left ( \int_0 ^x \lvert f'(t) \rvert ^2\,dt \right )^{1/2},$$

así que tenemos

$$x^{-1/2} \lvert f(x) \rvert \leqslant \lVert f' \cdot \chi_ {[0,x]} \rVert_ {L^2},$$

y por el teorema de la convergencia dominada, $f' \cdot \chi_ {[0,x]} \xrightarrow {L^2} 0$ como $x \to 0$ .