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Si , ¿Cuál es el valor de ?

Problema:

Si $\tan(\pi \cos\theta) =\cot(\pi \sin\theta)$, entonces ¿cuál es el valor de $\cos(\theta -\frac{\pi}{4})$?

Mi enfoque:

Solución: $\tan(\pi \cos\theta) =\cot(\pi \sin\theta)$

$\Rightarrow \tan(\pi \cos\theta) = \tan { \frac{\pi}{2} - (\pi \sin\theta) } $

$\Rightarrow \pi \cos\theta = \frac{\pi}{2} - (\pi \sin\theta)$

$\Rightarrow \frac{1}{2} =\frac{1}{\sqrt{2}}[\sin\frac{\pi}{4} \cos\theta + \cos\frac{\pi}{4} \sin\theta] $

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi}{4} + \theta)$ $\Rightarrow \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \theta$

$\Rightarrow \theta = 0$

$\therefore \cos(\theta - \frac{\pi}{4})$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ Pero esta es una respuesta incorrecta... por favor sugerir donde me equivoco... gracias.

5voto

Ron Gordon Puntos 96158

Utilizo

$$\frac{\sin{(\pi \cos{\theta})}}{\cos{(\pi \cos{\theta})}} = \frac{\cos{(\pi \sin{\theta})}}{\sin{(\pi \sin{\theta})}}$$

desde que llego

$$\cos{[\pi (\cos{\theta}+\sin{\theta})]}=0$$

o, en un caso,

$$\pi (\cos{\theta}+\sin{\theta}) = \frac{\pi}{2}$$

o,

$$\sqrt{2} \pi \cos{\left ( \theta-\frac{\pi}{4}\right )} = \frac{\pi}{2}$$

Se puede tomar desde aquí.

3voto

DonAntonio Puntos 104482

$$\tan(\pi\cos\theta)=\cot(\pi\sin\theta)\implies \sin(\pi\cos\theta)\sin(\pi\sin\theta)=\cos(\pi\cos\theta)\cos(\pi\sin\theta)\implies$$

$$\cos\left(\pi(\cos\theta-\sin\theta)\right)-\cos\left(\pi(\cos\theta+\sin\theta)\right)=\cos\left(\pi(\cos\theta-\sin\theta)\right)+\cos\left(\pi(\cos\theta+\sin\theta)\right)$$

$$\implies\cos\left(\pi(\cos\theta+\sin\theta)\right)=0\iff\cos\theta+\sin\theta=\frac{2n+1}2\;\;,\;\;n\in\Bbb Z$$

Pero solo podemos tener $\;n\in{-2,-1,0,1}\;$ (¿por qué?), así

$$\sin\theta+\cos\theta=k\iff \sin x\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi4\cos\theta=k\cos\frac\pi4\iff$$

$$\iff\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)=\frac k{\sqrt2}\;\ldots$$

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