Operador de campo en cuadro de Schrödinger

Question

En Schrödinger operadores imagen no dependen de tiempo explícitamente. Considerar un campo escalar libre con densidad lagrangiana

$${\cal L} ~=~ \frac{1}{2}\partial_{\mu} \phi\partial^{\mu}\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2,$$

donde $\phi=\phi(t,x,y,z)$. En teoría cuántica de campos nos lo tomamos como un operador. ¿Es este operador de Schrödinger o Heisenberg? ¿Cómo podemos expresar libre campo Lagrangiano en ambas fotos?

Answer 1

Como dijo Josh, si desea que sus operadores de $\hat{\phi}({\bf{x}},t)$a tener una dependencia análoga a la dependencia del tiempo de la clásica de campos de $\phi({\bf{x}},t)$ que satisfacen las ecuaciones de movimiento derivado de la clásica de Lagrange, entonces usted está trabajando en la imagen de Heisenberg, y el operador de la versión de las ecuaciones clásicas de movimiento es simplemente la ecuación de Heisenberg $$ \dot{\hat{\phi}}=-i[\hat{\phi},H] $$ If, however, you want to work in the Schroedinger picture, the operators will now be functions of position only, $\hat{\phi}({\bf{x}})$ and the time dependence is carried by the states. In the approach known as the functional Schroedinger picture, they pick a fixed timeslice and define the space of states to be space spanned by the eigenstates of the field operator $$\hat{\phi}({\bf{x}})|\phi({\bf{x}})\rangle= \phi({\bf{x}})|\phi({\bf{x}})\rangle$$ So much for the eigenstates. A generic state $|\Psi\rangle$ is a functional which maps a field $\phi({\bf{x}})$ to a number $$ \Psi[\phi({\bf{x}})] = \langle \phi({\bf{x}})|\Psi \rangle$$ This is entirely analogous to the QM relation $$\Psi({\bf{x}}) = \langle {\bf{x}}|\Psi \rangle$$ The field $\phi({\bf{x}})$ plays the role of the coord $\bf{x}$ in QM. In this representation, just as we have the representation $$\hat{\phi} \leftrightarrow \phi({\bf{x}}) $$ so we also represent the conjugate variable by a functional derivative $$\hat{\pi} \leftrightarrow -i\frac{\delta}{\delta\phi({\bf{x}})} $$ Esto asegura que la canónica relaciones de conmutación son respetados. Además, el tiempo de evolución de los estados está dada por la funcional de la ecuación de Schroedinger

Para el estándar perturbativa de cálculos en la dispersión de la teoría, sin embargo, es mucho más conveniente utilizar la ligera modificación de la imagen de Heisenberg conocida como la interacción de la imagen.

Answer 2

Cuando el campo $\phi$ se escribe como una función del espacio-tiempo, con el consentimiento explícito de la dependencia en el tiempo, entonces este campo se dice que ser escrito en la imagen de Heisenberg. Usted puede ver cómo esto es consistente con la terminología utilizada en mecánica cuántica no relativista, recordando que (Ver, por ejemplo, Peskin y Schroeder eq. 2.43) $$ \phi(t,\mathbf x) = e^{i H(t-t_0)}\phi(\mathbf x, t_0)e^{-iH(t-t0)}. $$ Esto muestra que podemos elegir algún segmento de tiempo, digamos en el tiempo $t_0$, en el espacio de Minkowski en el que se definen nuestro habitual de Shrodinger imagen operadores (la canónica de grados de libertad de la teoría del campo) y en los últimos tiempos, estos operador de grados de libertad están relacionados con los que en el momento $t_0$ a través de la costumbre de Hamilton, unitario y tiempo de evolución de arriba.

Con el fin de utilizar la notación que está más en línea con la que se utiliza en mecánica cuántica no relativista (por ejemplo, véase Sakurai p. 82 parte inferior), usted podría sentirse inclinado a definir $$ \phi^{(S)}(\mathbf x) = \phi(\mathbf x, 0), \qquad \phi^{(H)}(\mathbf x)(t) $$ en caso de que el anterior tiempo de evolución de la relación tomaría la forma familiar $$ \phi^{(H)}(\mathbf x)(t) = e^{iHt}\phi^{(S)}(\mathbf x)e^{-iHt} $$ pero esto sería algo que no notación estándar en el campo de la teoría como tengo entendido.