Integración de línea con función no analítica

Question

Que $a\in \mathbb{C}, |a|\ne 3$ $\gamma$ es un círculo con centro en $0 $% y radio $3$. ¿Cómo calcular la siguiente integral $$\int \limits_\gamma ! \dfrac{\bar{z}}{z-a} \, \mathrm{d} z$ $?

$\bar{z}$ no es analítica, es por eso que no lo hago hago

Answer 1

$$\int\gamma\frac{\bar{z}}{z-z}dz=\int\gamma\frac{9}{z(z-a)dz}=\frac{9}{a}\int_\gamma\left(\frac{1}{z-a}-\frac{1}{z}\right)dz=\frac{18\pi i}{a}(n(\gamma ,a)-n(\gamma , 0))$$ Where $n(\gamma,a) $ is the winding number ( http://en.wikipedia.org/wiki/Winding_number) of $%\gamma$ around $a$. So the given integral is equal to $0$ if $|a| 3$.

Answer 2

Desarrollo hacia fuera (y corrigiendo ligeramente) el truco mencionado en los comentarios:

$$z\in\gamma\Longrightarrow 9=|z|^2=z\overline z\Longrightarrow \overline z=\frac{9}{z}\Longrightarrow$$

$$\oint\gamma\frac{\overline z}{z-a}dz=9\oint\gamma \frac{dz}{z(z-a)}dz =:9 I$$

(1) if $\,|a|>3\,$, luego utilizando el teorema de Cauchy:

$$9I=9\oint\gamma\frac{\frac{1}{z-a}}{z}dz=9\cdot 2\pi i\left.\frac{1}{z-a}\right|{z=0}=-\frac{18\pi i}{a}$$

(2) si $\,|a|no pase por otro punto y se encuentran completamente dentro del $\,\gamma\,$ y obtener:

$$9I=9\oint_{\gamma0}\frac{\frac{1}{z-a}}{z}dz+\oint{\gammaa}\frac{\frac{1}{z}}{z-a}dz=18\pi i\left(\left.\frac{1}{z-a}\right|{z=0}+\left.\frac{1}{z}\right|_{z=a}\right)=$$

$$=18\pi i\left(-\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)=0$$