Declaraciones lógicas

Question

Marque con T o F todas las afirmaciones siguientes de forma que no se contradigan entre sí:

1. Como máximo $1$ la afirmación es verdadera

2. Como máximo $1$ la afirmación es falsa

3. Como máximo $2$ las afirmaciones son verdaderas

4. Como máximo $2$ las afirmaciones son falsas

5. Como máximo $3$ las afirmaciones son verdaderas

6. Como máximo $3$ las afirmaciones son falsas

7. Como máximo $4$ las afirmaciones son verdaderas

8. Como máximo $4$ las afirmaciones son falsas

9. Como máximo $5$ las afirmaciones son verdaderas

10. Como máximo $5$ las afirmaciones son falsas

Tenemos un total de $10$ declaraciones. Si marcamos el $1^{\mathrm{st}}$ con T, significa que todas las demás deben ser falsas. Pero esto se contradice con la 2ª. Podemos marcar con seguridad la última $2$ como Verdadero. Pero si decimos, por ejemplo, como máximo $5$ son ciertas, ¿puede ser también correcto que "como máximo $3$ (o $2$ o $4$ etc.) son verdaderas"? Como máximo $5$ afirmaciones son verdaderas significa que al menos $5$ son falsas, lo que está bien en combinación con el $10^{\mathrm{th}}$ ¿verdad?

Pero si decimos "como máximo $1$ es verdadera", significa "como mínimo $9$ las declaraciones son falsas". Pero si "como mínimo $9$ son falsas", ¿no significa también que "como mínimo $7$ ¿"Las declaraciones son falsas", por ejemplo?

¿Cómo podemos combinarlos todos juntos?

Estoy completamente atascado.

Answer 1

Si marcamos la 1ª con T, significa que todas las demás deben ser falsas. Pero esto se contradice con la 2ª. Podemos marcar con seguridad las 2 últimas como Verdaderas.

No entiendo su razonamiento. ¿Por qué estás seguro de que puedes marcar la 2 como "verdadera"? Acabas de argumentar que la 2 es falso si 1 es verdadero, por lo que necesita estar seguro de que 1 es falso ...

(Ahora, 1 es de hecho está garantizado que es falso, pero aún no lo has argumentado).

si decimos, por ejemplo, que como máximo 5 afirmaciones son verdaderas, ¿puede ser también correcto que "como máximo 3 afirmaciones son verdaderas"?

Claro, puede que exactamente 3 afirmaciones sean ciertas.

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Como pista para empezar, basada en los dos comentarios anteriores:

¿Puede demostrar que si la afirmación "como máximo $n$ son verdaderas" (resp. falsas) es verdadera, entonces la afirmación "a lo sumo $k$ Las afirmaciones son verdaderas" (resp. falsas) también son verdaderas si $k>n$ ?

Por ejemplo, si 1 es verdadera, entonces 3 también tiene que serlo, etc. Esto permite descartar de entrada un montón de afirmaciones.

Otra pista:

Intenta resolver un caso más sencillo, por ejemplo, ¿qué pasaría si sólo tuvieras los enunciados 1-4? ¿Y qué pasa con el 1-6?