¿Es correcto dividir algo por una variable aleatoria que puede tomar el valor 0 con probabilidad mayor que 0?

Question

Está bien para dividir algo por una variable aleatoria que puede tomar el valor de 0 con probabilidad mayor que 0?

Por ejemplo, sabemos que, mediante el uso del Teorema de Slutsky, Si $\hat{p^*} = \frac{Y}{n}, Y \sim Bin(n,p)$,

entonces $\frac{\hat{p^*}-p}{\sqrt{\hat{p^*}(1-\hat{p^*})/n}} \rightarrow^d N(0,1) $

(es decir, $\frac{\hat{p^*}-p}{\sqrt{\hat{p^*}(1-\hat{p^*})/n}}$ converge en distribución a $N(0,1)$ ).

Pero aquí, $\hat{p^*}$ es una variable aleatoria que puede tomar el valor de $0$ con una probabilidad superior al $0$, lo que significa que la probabilidad de que $\sqrt{\hat{p^*}(1-\hat{p^*})/n}$ es igual a $0$ es también mayor que $0$. así que no estoy seguro de si realmente es matemáticamente bien para escribir una expresión como $\frac{\hat{p^*}-p}{\sqrt{\hat{p^*}(1-\hat{p^*})/n}}$ , porque se supone que no debemos tener $0$ en el denominador de una fracción.

Entonces, para resumir, está bien tener una expresión como $\frac{c}{Y}$,

donde

$c=$ constante, y

$Y=$ una variable aleatoria que puede tomar el valor de 0 con una probabilidad mayor que el $0$.

Espero que mi pregunta tiene sentido.

Gracias,

Answer 1

Es el producto de un resultado asintótico (De-Moivre-Laplace teorema). Si $X_1, X_2,...$ son yo.yo.d Bernoulli r.v.s$p$, $n\to \infty$ $$ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0,1). $$ Es decir, tienes razón en que para cualquier finito $n$ (incluso muy grandes) $$ \mathbb{P}(n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i = 0) >0. $$ Sin embargo, para$n\to \infty$$p\in(0,1)$, $$ \lim_{n\to \infty} \mathbb{P}(n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i = 0) =0. $$ En otras palabras, la varianza de la muestra de $\hat{p}$ que está escrito como $n^{-1}\hat{p}( 1 - \hat{p})$ converge en probabilidad (en este caso, usted tiene la casi seguramente converge así debido a SLLN) a $p(1-p) > 0$. Y $\sqrt{n}(\bar{X}_n - p) \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0, p(1-p))$, por lo tanto usted puede utilizar Slutsky y la asignación continua para obtener $$ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - p)}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p}}} \xrightarrow{D} \frac{1}{\sqrt{ p(1-p) }}\mathcal{N}(0, p(1-p)) = \mathcal{N}(0,1). $$ Lo que significa que cada vez que se utilice este resultado para un finito tamaño de la muestra es tan sólo una aproximación, por lo que "no está bien" en este sentido, se puede dividir el tal r.v. Sin embargo, si alguna vez tomó un curso de econometría avanzada o cualquier otro aplicada matemáticas o estadísticas claro, luego ves los tonos de aproximaciones y diferentes regla de pulgar que "abusado" las bases de las matemáticas, por motivos prácticos.

Answer 2

Estamos generalmente se enseña la simplificación excesiva que "no se puede" dividir por cero. Esto no es cierto. Acabo de ver que me: $\frac 1 0$. Con el fin de obtener una declaración exacta de esta idea, tenemos que ser más preciso con lo que queremos decir con "no se puede hacer".

Un posible significado es que si usted sabe $ab=ac$, entonces se puede concluir $b=c$, a menos que $a=0$, ya que por ejemplo,$0\cdot 1=0\cdot 2$. Esto no es realmente acerca de la división, se trata de lo que se puede deducir acerca de la multiplicación.

En su caso, sin embargo, el significado es que la división por cero no está definida. En otras palabras, cuando se definen $Z=X/Y$ donde $Y$ puede ser cero con probabilidad distinta de cero, en realidad no se ha definido $Z$. Más específicamente, desde una variable aleatoria es formalmente una función en un conjunto (la probabilidad de espacio), es necesario definir $Z(\omega)$ en cada una de las $\omega$. No lo han hecho, ya que no tengo idea de lo $Z(\omega)$ debe ser para los valores de $\omega$ que $Y(\omega)=0$. Es como si se define una función en $\mathbb N$ diciendo "$f(n)$ es la posición de la cuarta $7$ en la expansión decimal de $n$". No tengo idea de cómo desea definir $f(372)$.

Así que lo que tienes que hacer aquí es definir su variable aleatoria con más precisión y, a continuación, ver si su argumento se aplica al objeto resultante.

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Vamos a ver cómo se puede hacer esto con su problema. Voy a escribir $\hat{p_n}$ $\hat{p^*}$ dejar claro que es una secuencia. Usted tiene la declaración provisional

$$Z_n:=\sqrt n \frac {\hat{p_n} - p}{\sqrt{\hat{p_n}(1-\hat{p_n})}}\to \mathcal N(0,1)$$

Por supuesto, usted puede esperar que esto suceda porque las $\hat{p_n}$ tiene el derecho de la media de $n$ ensayos de Bernoulli independientes, por lo que sin el denominador usted tendría algo que converge en ley a $X\sim \mathcal N(0, p(1-p))$, y el denominador en $Z_n$ converge en ley a $\sqrt{p(1-p)}$, e $X$ dividido por la que se dispone la ley de $\mathcal N(0, 1)$, así que por Slutsky del teorema debe estar lejos.

Como he dicho, nuestra tarea es la de redefinir $Z_n$ más precisamente (o, de hecho, definir del todo) por lo que este argumento funciona. Podemos hacer esto? Podríamos hacer algo como decir "cuando el denominador es cero, $Z_n=0$". La preocupación es que luego del teorema de Slutsky puede que no se aplique más. Bien, echemos un vistazo a lo que Slutsky del teorema dice exactamente:

$X_n/Y_n\to X/c$ cuando $X_n\to X$, $Y_n\to c$, mientras $c\neq 0$

Aquí $c$ es definitivamente distinto de cero (excepto cuando se $p=0$ o $1$), por lo que está bien. Observe que el intento de que los parches hasta la definición de $Z_n$ mencioné en el párrafo anterior no funciona, ya que, a continuación, $Z_n$ no es de la forma $X_n/Y_n$, es de la forma "$X_n/Y_n$ algunos de la época, sino $0$ el resto del tiempo". En lugar de eso, tenemos que ir a un nivel más profundo y redefinir el denominador sí misma, así que nunca es cero. Vamos a:

$$\hat{\sigma_n}=\begin{cases} \sqrt{\hat{p_n}(1-\hat{p_n})} &\text{ when } \hat{p_n}\neq 0, 1 \\ 1 &\text{ otherwise} \end{casos}$$

Tenga en cuenta que $1$ podría ser sustituido por cualquier número distinto de cero. Ahora podemos definir la $Z_n=\frac{\sqrt n (\hat{p_n} - p)} {\hat{\sigma_n}}$ y ver si Slutsky del teorema se aplica. El numerador todavía converge a $\mathcal N(0,1)$, y estoy seguro de que usted puede demostrar que $\hat{\sigma_n}$ converge en ley a $\sqrt{p(1-p)}$.

Aunque puede parecer demasiado bueno para ser cierto, que hemos sido capaces de salir de un dilema matemático arbitrariamente la definición de lejos la cosa de la que estaba molestando a nosotros, el punto es que esa cosa se vuelve más raro y más raro como $n\to\infty$, por lo que nuestro ad hoc de la cinta adhesiva de la solución se vuelve menos y menos visibles y se desvanece en el límite.

Answer 3

Las definiciones de Slutsky del Teorema he visto, específicamente prohibir denominadores que toma el valor de $0$ con una probabilidad de más de un 0.

En el caso que usted menciona, se puede utilizar $p$ en lugar de su estimación. A continuación, un segundo argumento puede ser hecho de que $\hat p = Y/n$ converge a $p.$ El obsoleta "95%" CI de la forma$\hat p \pm 1.96 \sqrt{\hat p(1-\hat p)/n},$, que está basado en este inestable argumento, se ha demostrado que tiene muy mala cobertura de probabilidad (muy lejos del 95%) en muchas los casos de interés práctico. Consulte esta página para obtener más información sobre el CI y las referencias pertinentes.

"Teóricamente", usted puede encontrar argumentos que parecen eludir dividiendo por 0 en Slutsky del teorema, pero las consecuencias prácticas de que el resultado puede permanecer en la duda.

Si intenta comprobar cuestionables argumentos de cómputo, puede que no detectar dificultades. La mayoría de los idiomas del software tienen "protecciones" contra el desbordamiento y subdesbordamiento de que simplemente "parche" de las dificultades, a menudo sin los mensajes de advertencia. Por ejemplo, en R y muchos otros lenguajes de computación 0/0 devuelve un no número NaN, pero 0^0devuelve 1 (aproximadamente, sobre la base de que la base 0 debe ser un subdesbordamiento y no de un "real" $0$.) Equipos de lidiar con una muy grande, a menudo útil subconjunto de los números racionales, no con todos los números reales.