Deje que $A = \{(\sqrt{5} + 1)/2\}^{5}$ y deja que $\alpha,\beta$ sean números reales positivos tales que $\alpha\beta = \pi^{2}/5$. Entonces se sabe que $$\left\{A + R^{5}(e^{-2\alpha})\right\}\left\{A + R^{5}(e^{-2\beta})\right\} = 5\sqrt{5}A$$ donde $$R(q) = \cfrac{q^{1/5}}{1 + \cfrac{q}{1 + \cfrac{q^{2}}{1 + \cfrac{q^{3}}{1 + \cdots}}}}$$ es la fracción continua de Rogers-Ramanujan. Una prueba del resultado anterior está disponible en mi blog http://paramanands.blogspot.com/2013/09/values-of-rogers-ramanujan-continued-fraction-part-2.html
Usando lo anterior, estoy tratando de evaluar $R(e^{-2\pi/5})$ usando el valor ya conocido de $R(e^{-2\pi})$ dado por $$R(e^{-2\pi}) = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$
Mi cálculo arroja el valor $$R(e^{-2\pi/5}) = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\left(3\sqrt{85 - 38\sqrt{5}} - \frac{17\sqrt{5} - 37}{2}\right)^{1/5}$$ y he verificado usando una calculadora que ambos valores de $R(e^{-2\pi})$ y $R(e^{-2\pi/5})$ mostrados arriba satisfacen la relación $\alpha,\beta$ mencionada anteriormente.
Mi problema es que el valor de $R(e^{-2\pi/5})$ no parece ser una unidad. Por otro lado, el valor $R(e^{-2\pi})$ es una unidad y hay un teorema general que establece que todos los valores de $R(q)$ son unidades para $q = e^{-\pi\sqrt{n}}$ donde $n$ es un número racional positivo. Probablemente estoy cometiendo algún error en los cálculos o tal vez no logro entender cómo la expresión para $R(e^{-2\pi/5})$ es una unidad. Lamentablemente no he podido encontrar ninguna referencia en línea para verificar este valor de $R(e^{-2\pi/5})$ y estoy atascado con estas manipulaciones radicales locas. Por favor, ayúdame.
