¿Cómo encontrar la serie de Maclaurin para $f(x) = \frac{1}{1 + \sin(x)}$?

Question

Tengo que $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + ...$

Entonces debe ser el $\frac{1}{1 + \sin(x)}$ $ 1 - \sin(x) + \sin^2(x) - \sin^3(x) + ...$ pero claramente este no es el caso.

¿Cómo funciona la sustitución en series de Maclaurin y ¿por qué esto no funciona?

Answer 1

Por la substitución de la expansión de $\sin x$ en el orden requerido en la expansión de $\dfrac1{1+u}$ en el mismo orden.

Ejemplo de orden 5:

$$\dfrac1{1+u}=1-u+u^2-u^3+u^4-u^5+o(u),\qquad \sin x=x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}+o(x5),$ $ Dónde\begin{align} \sin^2x&=x^2-\frac{x^4}3+o(x^5)&\sin^3x&=\Bigl(x^2-\frac{x^4}3+o(x^5)\Bigr)\Bigl(x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\Bigr)=x^3-\frac{x^5}2+o(x^5)\ \sin^4x&=x^4+o(x^5)& \sin^5x&=x^5, \end{align} por lo que tenemos\begin{align} \dfrac1{1+\sin x}&=1-\Bigl(x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}\Bigr)+\Bigl(x^2-\frac{x^4}3\Bigr)-\Bigl(x^3-\frac{x^5}2\Bigr)+x^4-x^5+o(x^5)\&=1-x+x^2-\frac{5x^3}6+\frac{2x^4}3-\frac{61x^5}{120}+o(x^5). \end{align}