¿Hay un cardenal más grande?

Question

En ZFC, un cardenal es un isomorfismo de la clase de conjuntos. Sin embargo ZFC explícitamente no tienen clases; NBG, que es un conservador extensión de ZFC.

No hay mayor cardenal por el Teorema de Cantores

No hay ningún conjunto de todos los conjuntos - de hecho, es una clase.

Las clases no tienen cardinalidades, ya que estos se han definido sólo para conjuntos - pero si se pudiera definir la cardinalidad de clases - no es esto, en cierto sentido, ser un 'límite' de todos los cardenales en Conjunto, incluyendo todos los grandes cardenal axiomas?

Por lo tanto, es posible extender la noción de cardinalidad de manera significativa a las clases?

Disculpas por la suelta de la redacción de esta pregunta. Que originalmente iba a ser una publicación en la Filosofía.SE, pero yo pensaba que iba a obtener mejores respuestas aquí.

Answer 1

Sí, usted puede extender la noción de cardinalidad a las clases, y que es coherente que sólo hay un cardenal para las clases (por ejemplo, $V=L$ implica que todas las clases tienen el mismo tamaño), o que es coherente que hay clases que son incomparables (por ejemplo, si añades dos Cohen subconjuntos a una clase adecuada de los cardenales, la clase de los pares puede ser definably bien ordenado y es incomparable en tamaño con la clase de los números ordinales). Si usted está de acuerdo para violar el axioma de opciones, a continuación, hay aún más opciones aquí (clases incomparable con los juegos).

Pero creo que no hay mucho escrito sobre este tema, y es dispersado a lo largo de muchos papeles. Algunas consecuencias obvias aquí, algunos menores de mencionar que hay.

Como para ser un gran cardenal, hay dos tipos de propiedades a considerar aquí. Pequeñas propiedades, que sólo afectan a los conjuntos a continuación el cardenal (por ejemplo, inaccesible cardenales) y las grandes propiedades, que afectan a los conjuntos que no son más pequeñas que los cardenales (por ejemplo, medibles cardenales). También hay muy grandes propiedades que afectan a casi todo el mundo en el universo (por ejemplo, supercompact cardenales).

Desde $\sf ZFC$ tiene un acceso muy limitado a la correcta clases, tener la clase de los números ordinales como un gran cardenal de una gran propiedad no tiene sentido. Pero usted puede fácilmente tener pequeñas propiedades por medio de la $V_\kappa$ algunos $\kappa$ la satisfacción de las quería propiedad y considerarlo como un modelo en su propio. Si $\kappa$ es un Mahlo cardenal, a continuación, en $V_\kappa$ cada cerrada y acotada conjunto de ordinales incluye un cardinal inaccesible.

Nota de que la exigencia de que cada clase de los números ordinales, que se cierra [e ilimitado] tiene un cardinal inaccesible en realidad requiere menos de un Mahlo ordinales y cortar el universo, porque tenemos menos clases que preocuparse.

Otra peculiar ejemplo es un Woodin cardenal. Ser un Woodin cardenal es tener una propiedad pequeña, la cual en sí es una gran propiedad (si $\kappa$ es un Woodin cardenal, incluso podría no ser débilmente compacto, sino $V_\kappa$ es muy rica en los grandes cardenales). Así que usted puede pensar en el caso similar donde los ordinales se comportan como un Woodin cardenal en cierta medida. Aunque, no estoy seguro de por qué lo haría.

Answer 2

Si se pudiera definir la cardinalidad de clases - no es esto, en cierto sentido, ser un 'límite' de todos los cardenales en la serie...

Seguro que, si se modifican las definiciones para permitir esto, el cardinalilty de cualquier clase adecuada sería considerado el más grande del cardenal. (El Cantor de la prueba sólo se aplican a los cardenales que son conjuntos.) Sin embargo, esto no es muy interesante.

... incluyendo todos los grandes cardenal axiomas?

No, el gran cardenal axiomas son muy diferentes de los objetos de los cardenales, y la relación entre la magnitud de los cardenales y "grandeza" (fuerza) de gran cardenal axiomas no es tan fácil como usted podría pensar. (Y de todos modos, no hay más grande de gran cardenal axioma porque no hay ningún máxima consistente recursiva extensión de $\mathsf{ZFC}$.)

Muchos ejemplos de gran cardenal axiomas tomar las propiedades de la clase de los cardenales, por ejemplo, la infinitud, de la regularidad (cierre bajo los límites de secuencias cortas, y cierre en la alimentación de los conjuntos, y postulan que algunos (de tamaño) el cardenal ya tiene estas propiedades. Gran cardenal axiomas por lo tanto, proporcionar un sentido en el que el conjunto/de la clase se hace una distinción relativa y no absoluta.

Esta es la razón por la que me dijo que la posibilidad de considerar el tamaño de una clase adecuada como "más grande que el cardenal" no es interesante, si su modelo de $\mathsf{ZFC}$ se realiza como $V_\kappa$ donde $\kappa$ es un cardinal inaccesible en mi modelo de $\mathsf{ZFC}$, luego de una clase adecuada en el modelo es un conjunto en mi modelo. Por otra parte, puedo ir incluso más lejos y definir $V_{\kappa+1}$, $V_{\kappa+2}$, etc. Así que el gran cardenal axioma "existe un cardinal inaccesible" trasciende la noción de cardenales en $\mathsf{ZFC}$ a un grado mucho mayor que la de "un paso" de extensión de la noción de cardenales que se obtiene al permitir la adecuada clases.

Answer 3

Ser que un gran cardenal no es una cuestión de simple tamaño, es una cuestión de complejidad.

Considerar $\lambda