Soluciones de $x^2 + 7y^2 = 2^n$ donde $x$ y $y$ son números Impares

Question

¿Es cierto que para cualquier $n\geq 2$ la ecuación $x^2 + 7y^2 = 2^n$ tiene una solución con $x$ y $y$ ¿impar?

Answer 1

Los valores de $2(\frac 12 +\frac 12 \sqrt{-7})^{n-2}$ dar $x+y\sqrt{-7}$ que son una solución a la ecuación $x^2+7y^2 = 2^n$ , donde $x$ y $y$ son siempre impar.

Estas soluciones son por tanto únicas, porque todas las representaciones de $x^2+7y^2$ reducir a un número complejo $x+y\sqrt{-7}$ y que $\frac 12 \pm \frac 12 \sqrt{-7}$ es el único primo de esta forma. $2$ es el producto de estos números, y como requiere que ambos primos den un valor par de $x$ y $y$ , las potencias de un solo primo deben conducir siempre a números Impares.

Answer 2

Para $n=3$ son soluciones ( $x_1=1,y_1=1$ ).

Si tiene soluciones impar $x_n$ , $y_n$ para $2^n$ entonces $$\left(\frac{7y_n-x_n}{2}\right)^2+7\left(\frac{x_n+y_n}{2}\right)^2=2x_n^ 2+14y_n^2=2(x_n^2+7y_n^2)=2^{n+1}$$ $$\left(\frac{7y_n+x_n}{2}\right)^2+7\left(\frac{x_n-y_n}{2}\right)^2=2x_n^ 2+14y_n^2=2(x_n^2+7y_n^2)=2^{n+1}$$

Por lo tanto, $x_{n+1}=\frac{7y_n-x_n}{2}$ y $y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$

o $x_{n+1}=\frac{7y_n+x_n}{2}$ y $y_{n+1}=\frac{x_n-y_n}{2}$

Esta es, de hecho, la misma respuesta que Wendy.

Nótese que siempre una de las soluciones es impar y la otra es par. ¡Toma la impar !

Answer 3

El resultado es cierto para $n=3$ ya que $2^3=x^2+7y^2$ con $x=y=1$ . Además, $x\equiv y\pmod{4}$ .

Demostramos que si existe $x$ y $y$ , impar, con $x\equiv y\pmod{4}$ , de tal manera que $x^2+7y^2=1$ entonces existe $x_1,y_1$ , impar, con $x_1\equiv y_1\pmod{4}$ , de tal manera que $x_1^2+7y_1^2=2^{n+1}$ . Sea $$x_1=\frac{x+7y}{2}\quad\text{and}\qquad y_1=\frac{x+y}{2}.$$ En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\frac{x+y}{2}$ y $\frac{x-7y}{2}$ son impar. Para $\frac{x+y}{2}$ utilizamos el hecho de que $x$ y $y$ son impar y $x\equiv y\pmod{4}$ para concluir $\frac{x+y}{2}$ es impar. El argumento para $\frac{x-7y}{2}$ es similar. Es fácil comprobar que $x_1\equiv y_1\pmod{4}$ .

Para demostrar que $x_1,y_1$ trabajo, calculamos $$\frac{(x-7y)^2}{4}+7\frac{(x+y)^2}{4}.$$ Esto se simplifica a $2x^2+14y^2$ que es $2^{n+1}$ . (Utilizamos una versión de la Identidad de Brahmagupta).

Observación: Es un artefacto de la prueba que las soluciones involucran enteros negativos. Podemos obtener soluciones positivas tomando el valor absoluto.

Answer 4

Permítame volver a esta pregunta, ya que la he descubierto ahora. He tenido dificultades para completar los detalles de la solución de existencia/unicidad dada por @wendy krieger (ver más abajo). Estoy de acuerdo con las respuestas dadas por @Xof y @André Nicolas, pero sólo se refieren a la existencia. Permítanme proponer la siguiente prueba de existencia-unicidad (que quizás sea sólo una aclaración de la de Wendy):

Llama ( $Eul_n$ ) la ecuación propuesta. Por supuesto, Eul es por Euler, que la resolvió utilizando funciones trigonométricas. Aquí apelaremos como Wendy a la aritmética de la UFD $R=\mathbf Z[\frac 12\sqrt {-7}]$ que es el anillo de enteros del campo cuadrático $K=\mathbf Q(\sqrt {-7})$ . La ramificación de los primos en R se conoce : las unidades de R son $±1$ todos los primos de $\mathbf Z$ siguen siendo primordiales en R excepto el 7, que está ramificado, y $2$ que se divide como $2=\pm \bar $ , donde $=\frac {1+\sqrt{-7}}2$ y $\bar =\frac {1-\sqrt{-7}}2$ . Así, con $z:= \frac {x+y\sqrt{-7}}2, x,y\in\mathbf Z$ la ecuación ( $Eul_n$ ) se convierte en ( $E_n$ ) $z\bar z=(\bar )^{n+2}$ sur $R$ y queremos demostrarlo, por cada $n3$ , ( $E_n$ ) admite una solución "única" en $R$ dado por $z=\pi^{n+2}$ . ¿Qué significa exactamente la singularidad? Para decirlo en un lenguaje "de alto nivel", introduzca el Vierergruppe $V_4=C_2×C_2$ y dejar que actúe sobre R de la siguiente manera: la primera $C_2$ permuta las unidades de R el segundo es la conjugación compleja; claramente $V_4$ actuará sobre las soluciones de ( $E_n$ ), y "solución única" significará "órbita única". Para mayor claridad, a partir de ahora se escribirá $z_n=\frac {x_n+y_n\sqrt{-7}}2$ en ( $E_n)$ .

Existencia de una solución. Si he entendido bien, Wendy considera que la solución particular $a+b\sqrt {-7}=2\pi^{n-2}$ pero no veo por qué $a,b$ debe ser impar. De ( $Eul_n$ ), $a,b$ deben tener la misma paridad, y se podría sacar de $a,b$ el poder común de $2$ pero luego $n$ se cambiaría. ¿Me he perdido algo? Creo que la solución particular debe ser elegida más estrictamente para asegurar la rareza de $x_n,y_n$ . Así que toma una solución particular $z_n=\pi^{n-2}$ de ( $E_n$ ) con $x_n , y_n$ impar. Entonces $z_{n+1}:=z_n\pi=\pi^{n+3}$ es una solución de ( $E_{n+1})$ y las fórmulas de recurrencia: $2x_{n+1}=x_n-7y_n , 2y_{n+1}=x_n +y_n$ muestran inmediatamente que la rareza de $x_n, y_n$ se propaga a $x_{n+1}, y_{n+1}$ . Empezando la recurrencia desde ( $E_3$ ), que admite la solución obvia $(1,1)$ Así pues, hemos demostrado que ( $E_n$ ) admite una solución para cualquier $n3$ . NB: Teniendo en cuenta todas las soluciones que componen una órbita, las fórmulas de recurrencia coinciden con las de André y Xof. En realidad, habían sido utilizadas por E. Müller en un problema de la Olimpiada, véase Páginas de estrategias de resolución de problemas matemáticos.blog.ir (3).pdf

Singularidad de la solución. De nuevo me cuesta entender el argumento de Wendy porque la propiedad UF sólo se mantiene en $R$ . ¿Me he perdido algo? Creo que se necesita un ingrediente adicional, como el siguiente: Denota por $N$ el mapa normativo de $K/\mathbf Q$ definido por $N(z)=z\bar z$ . Supongamos que ( $E_n$ ) admite dos soluciones $z,z’ \in R$ para que $N(z'/z)=1$ y podemos eliminar los factores comunes para obtener coprime $z,z’$ . Desde $K/\mathbf Q$ es una extensión cíclica, el thm.90 de Hilbert nos dice que cualquier elemento de norma $1$ sur $K^*$ puede escribirse como $w /\bar w$ (esto también se puede comprobar "a mano" aquí), y podemos despejar los denominadores para obtener $w\in R$ , coprima con $\bar w$ . De ello se desprende que $z' \bar w=zw $ sur $R$ y la propiedad UFD y las condiciones coprimarias dan inmediatamente $z'=\bar w$ y $z=w$ Por lo tanto $z'=\bar z$ (hasta unidades) ./.