Resolver la ecuación diferencial usando serie de Taylor:
$$ \frac{dy}{dx} = x + y + xy \ y (0) = 1 $$ para obtener valor de $y$ $x = 0.1$ y $x = 0.5$. Uso de términos a través de $x^5$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Susan L Smith
Puntos
6
El enfoque que he visto tomarse cuando se le preguntó para determinar la solución con el uso de Taylor Teorema es la siguiente.
Tenemos, a partir del Teorema de Taylor, $$y(x)=y(0)+y'(0)x+\frac{y''(0)}{2}x^2+\frac{y^{(3)}(0)}{6}x^3+\ldots$$ que necesitamos resolver para los respectivos coeficientes.
Se nos da $y(0)=1$. Al $x=0$, la educación a distancia debe ser satisfecho. A continuación, debemos tener $$ y'(0) = 0+1+0\cdot1=1.$$ La diferenciación de la educación a distancia tenemos $$\frac{d^2y}{dx^2}=1+\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}.$$ Con esto conseguimos que, en $x=0$, $$y''(0)=1+1+1+0\cdot1=3.$$
Entonces, tenemos $$y(x)=1+x+\frac{3}{2}x^2+\frac{y^{(3)}(0)}{6}x^3+\ldots$$ Continuar de esta manera, usted puede obtener el valor de $y^{(3)}(0)$ y más de derivados en $x=0$, dando así una solución a la original de la educación a distancia.
Una vez que se tienen los términos requeridos, usted puede evaluar la función en $x=0.1$$x=0.5$.
Oli
Puntos
89
Supongamos que $y$ tiene la expansión en series de Taylor alrededor de $x=0$ dada por $$y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\cdots.$$ Debido a $y(0)=1$,$a_0=1$. Diferenciar. Tenemos $$\frac{dy}{dx}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4+\cdots.\tag{$1$}$$ También, $$\begin{align}x+y+xy&=x+(1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\cdots)\\&+(x+a_1x^2+a_2x^3+a_3x^4+a_4x^5+\cdots).\end{align}$$ En la expresión anterior, se reúnen como los poderes de $x$ juntos. Tenemos $$x+y+xy=1+(2+a_1)x+(a_1+a_2)x^2+(a_2+a_3)x^3+(a_4+a_5)x^4+\cdots.\tag{$2$}$$ Las expansiones $(1)$ $(2)$ deben ser idénticos. De ello se deduce que tienen el mismo término constante, es decir, que $a_1=1$.
Los coeficientes de $x$ $(1)$ $(2)$ deben coincidir. De ello se desprende que $2a_2=2+a_1=3$, y por lo tanto $a_2=\frac{3}{2}$.
Los coeficientes de $x^2$ deben coincidir. De ello se desprende que $3a_3=a_1+a_2=\frac{5}{2}$, y por lo tanto $a_3=\frac{5}{6}$.
Continuar, encontrando $a_4$$a_5$. No se le pidió a encontrar los coeficientes más allá de $a_5$.
Para los cálculos numéricos, basta con sustituir los valores dados de $x$ en la expresión de $1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$ a partir de los valores de la $a_i$ que hemos encontrado.
