convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1n\log\left(1+\dfrac1n\right)$.

Question

Estoy tratando de comprobar la convergencia o divergencia de la serie <span class="math-container">$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1n\log\left(1+\dfrac1n\right)$</span>.

Mi intento: una finita <span class="math-container">$p$</span>,<span class="math-container">\begin{align}\displaystyle\sum{k=n}^{n+p}\dfrac1k\log\left(1+\dfrac1k\right)&\lt\dfrac1n\displaystyle\sum{k=n}^{n+p}\log\left(1+\dfrac1k\right)\&=\dfrac1n\log\large\Pi_{k=n}^{n+p}\left(\dfrac{k+1}{k}\right)\&=\dfrac1n\log\left(1+\dfrac{p+1}{n}\right)\&\lt\dfrac1n\log2,\text{ for large %#%#% and %#%#% is finite.}\&\lt\varepsilon\end {Alinee el}</span> por lo tanto la serie converge.

Answer 1

Porque <span class="math-container">$$\frac{\frac{1}{n}\ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}}\rightarrow1$</span> y <span class="math-container">$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$ $</span>

Answer 2

<span class="math-container">$a_n:= (1/n)\log (1+1/n);$</span>

Memoria: <span class="math-container">$\lim_{n \rightarrow \infty}(1+1/n)^n=e$</span>.

Por lo tanto, <span class="math-container">$(1+1/n)^n$</span> está delimitado por un positivo real, <span class="math-container">$M$</span>.

<span class="math-container">$(1+1/n)^n <m>Y con</m></span>

<span class="math-container">$\log (1+1/n)^n :</span>

<span class="math-container">$a_n = (1/n^2) \log(1+1/n)^n <m>.</m></span>

Prueba de comparación: <span class="math-container">$M \sum 1/n^2$</span> converge.

Answer 3

Su argumento no es correcto. Para el criterio de Cauchy tiene que demostrar que para cada $\varepsilon > 0$ hay un $N \in \Bbb N$ tales que $$ \sum_{k=n}^{n+p}\dfrac1k\log\left(1+\dfrac1k\right) < \varepsilon $$ para todos los $n \ge N$ y todos los $p \ge 0$. Así no se puede "arreglar" $p$ y suponga que $$ \dfrac1n\log\left(1+\dfrac{p+1}{n}\right)\lt\dfrac1n\log 2 \, . $$

---

Pero el uso de la "conocido" estimación de $\log x \le x-1$ uno se $$ 0 \le \frac1n\log\left(1+\dfrac1n\right) \le \frac{1}{n^2} $$ y que implica la convergencia por el "teorema del sándwich."