La recuperación de una categoría monoidal de su categoría de monoids

Question

¿Qué tipo de propiedades adicionales y/o estructuras que uno necesita para imponer en la categoría de (propiedad conmutativa o no conmutativa) monoids de algunos categoría monoidal de modo que uno puede recuperar el original monoidal categoría a partir de estos datos?

¿Qué tipo de propiedades adicionales y/o estructuras que uno necesita para imponer a una categoría para asegurarse de que es la categoría de monoids de algunos categoría monoidal?

El ejemplo que tengo en mente es la categoría de (propiedad conmutativa o no conmutativa) C*-álgebras (o álgebras de von Neumann). Podemos obtener una de estas categorías como la categoría de monoids de algunos categoría monoidal?

Answer 1

Aquí está una caracterización de las categorías de la propiedad conmutativa monoids. No sé la respuesta en la no-conmutativa caso.

Vamos a C una categoría. Entonces C es la categoría de la propiedad conmutativa monoids en algunos monoidal simétrica categoría si y sólo si C tiene finita co-productos.

Para suponer que C = CMon(M) para algunos monoidal simétrica categoría M = (M, @, yo). A continuación, se puede demostrar que el producto tensor @ de M también define un producto tensor en C --- y que este es, de hecho, binario subproducto en C. (Ejemplo: si M es la categoría de abelian grupos, entonces C es la categoría de anillos conmutativos, y el producto tensor de anillos conmutativos es el subproducto.) Del mismo modo, el objeto de la unidad I de M es un conmutativa monoid de una manera única, y de hecho es el objeto inicial de C. Así que C ha finito co-productos.

Por el contrario, supongamos que C ha finito co-productos. A continuación, ( + , 0) define un monoidal simétrica estructura en C, y con respecto a esta estructura, cada objeto de C es una propiedad conmutativa monoid de una manera única. Por Lo Tanto, C = CMon(C).

Answer 2

Yo puede ser malentendido, pero el segundo parece ser una cuestión diferente de la primera. En la primera, se presupone su categoría es la categoría de monoids para al menos una categoría monoidal; en el segundo, se están preguntando si este es el caso.

Yo no soy un experto en los campos correspondientes, pero creo que la segunda pregunta ha sido visto por algunos teóricos de la categoría (Egger?) y es falso o engañoso. Usted necesita para construir en una involución, para empezar. Si sólo desea álgebras de operadores, entonces yo creo que los resultados de Blecher et al decirnos que un monoid en la categoría de operador de espacios equipados con Haagerup producto tensor siempre puede ser realizado como un álgebra de operadores, y todos los operadores de álgebra surge de esta manera.

Sin duda, nos parece necesario buscar monoids en categorías de espacios de operadores en lugar de la mera espacios de Banach - hay algunos de la vieja obra de la Carne que, en cierta medida muestra que la costumbre de tensor de normas de espacio de Banach teoría no pueden caracterizar las álgebras de operadores (es decir, si @ denota uno de estos razonable de las normas, entonces no hay ningún teorema decir: a es Un álgebra de operadores si y sólo si existe un asociativa del producto de Un @ A --> A).