Continuidad de la función min

Question

Me gustaría hacer una pregunta sobre la continuidad de esta función de min.

Que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ser continuo. Definir %#% $ #%

Creo que el $$F(x):=\min{f(t):t \in [-x,x]}.$ de la función es continuo en $F$ sin embargo, no sé cómo usar la definición de $\mathbb{R}.$$\delta$para mostrar su continuidad. ¿Alguien me podria ayudar?

Gracias. Masih

Answer 1

Dado $\epsilon > 0$$x$, queremos mostrar que existe una $\delta>0$ tal que $|F(x)-F(y)|<\epsilon$ siempre $|x-y|<\delta$.

Desde $[-x,x]$ es compacto, el mínimo se alcanza en algún punto(s) $t_0\in[-x,x]$.

Supongamos primero que $\pm x$ no son puntos de mínimos, es decir, el mínimo se alcanza estrictamente en el interior. Deje $\delta$ ser tal que $|x-y|<\delta$ implica $|f(x)-f(y)| < \frac12|f(x) - f(t_0)|$, por la continuidad de $f$. Esta $\delta$ va a trabajar para $F$ cualquier $\epsilon>0$ desde $|F(x) - F(y)| = 0$ en este caso.

Ahora supongamos que el mínimo se alcanza en $\pm x$. Luego de nuevo por la continuidad de la $f$$\pm x$, encontramos a $\delta$ tal que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ si $|x-y|<\delta$. Esta $\delta$ va a funcionar tan bien.