Referencia para una cierta noción de la holonomía

Question

Estoy leyendo un papel que dice $L$ es un plano complejo de $G$-line paquete de más de $M$ con holonomy $\alpha$. Aquí $G$ es un abelian Mentira grupo y $\alpha$ es un personaje de $G$. Tengo dos preguntas:

1. Si el lote es plano, entonces no es su holonomy trivial?
2. Estoy un poco familiarizado con la holonomy ser un grupo tan qué significa para el holonomy a ser un personaje? El paquete es construida como la asociada a la línea de lote a un director de $G$ lote mediante la representación de $\alpha$. Así que está diciendo que la holonomy es $\alpha$ sólo la repetición de este hecho? Si es así, ¿cómo se enlaza con la otra definición de holonomy?

Las eventuales referencias que se donde estas cosas se habla en detalle sería muy apreciada.

Gracias!

Answer 1

Llanura de la conexión implica que transporte paralelo a lo largo de cada ruta de acceso $\gamma$ depende solamente de la clase de homotopía de ruta de acceso de $\gamma$. En particular, tiene un % de representación $\pi_1(M, x) \to GL(L_x)$.

Answer 2

Como señalado otros integración la dos forma $$F{A}=dA+A\wedge A$$give you a map $$\pi{1}(M)\rightarrow F$$where $F$ is the fibre lying over the base point. Here we are working with the associated vector bundle of $E$, so locally it has the form $$(g,m,v)\rightarrow (1,m,\alpha(g)v)$$and the fibre is one dimensional. But here $L$ is no longer a $G$ bundle anymore, all we can say is a loop in $M$'s image must land in $L$, and a shift by $\alpha (h) $ will act by conjugation on $v$ as $\alpha (h) \alpha (g) v\alpha (h) ^ {-1} $. However we know $G $ is abelian, and $L $ is one dimensional. So regardless of initial point in $ L {x} $ we have a unique map $\pi {1} (M) \rightarrow L{x}$ determined by $\alpha$. I do not think $$\pi{1}(M)\rightarrow GL(L{x})$$ holds unless one proceed from the associated line bundle to the associated $G$ bundle again. Indeed to say $\alpha$ is the character of $G$ means differently from $\alpha$ is an homomorphism from $\pi{1} (M) $ to $ GL (L {x}) $, since $\pi {1} (M) \not = G$ es totalmente posible.