Esta respuesta da una visión intuitiva atrás en un tipo de forma. Suponga que usted tiene un buen manejo en la prueba matemática de que para
no negativo de las variables aleatorias,
$$E[X] = \int_{0}^\infty P\{X > x\} \,\mathrm dx
= \int_{0}^\infty [1-F(x)] \,\mathrm dx \etiqueta{1}$$
y son conscientes de que el mundo se acabará si usted abra el corchete en la segunda integral en $(1)$ y escriba la integral como la diferencia de las integrales de $1$ $F(x)$ sobre el positivo de la línea real. Voy a describir una forma de visualizar esta integral en una manera que hace que sea intuitivamente obvio (al menos para mí, ymmv) por lo que su valor es el mismo que el valor de la integral
$$\int_{0}^\infty xf(x) \,\mathrm dx\tag{2}$$ which is the standard formula for the expected value of a nonnegative continuous random variable with density $f(x)$.
En el sentido habitual de la integral de Riemann, la segunda integral
en $(1)$ es el área de la región (en el semiplano $\{(x,y)\colon x > 0\}$ acotada abajo por $F(x)$ y por encima de la línea de $y=1$. La integral de Riemann calcula esta área a través de su división en finas verticales (casi
rectangular) en tiras de anchura $\Delta$ y la altura de la $\approx[1-F(x)]$ (y por tanto de área $\aprox [1-F(x)]
\cdot \Delta$), adding up such areas, and then taking the limit of the sum as $\Delta \to 0$. Esto nos da la habitual
interpretación de $\int_{0}^\infty [1-F(x)] \,\mathrm dx$.
Otra forma de calcular el área de la región bajo consideración es dividir el área en la delgada horizontal tiras de altura $\Delta$. El borde inferior de la tira a la altura
$y_0$ por encima de la $x$ eje se extiende desde $(0,y_0)$ $F^{-1}(y_0),y_0)
= (x_0,y_0)$ where $x_0$ is the number such that $F(x_0) = y_0$,
mientras que el
borde superior se extiende desde $(0,y_0+\Delta)$ $(F^{-1}(y_0+\Delta),y_0+\Delta) = (x_0+\delta, y_0+\Delta)$donde
$\delta$ es tal que
$$F(x_0+\delta) = y_0+\Delta = F(x_0)+\Delta
\implica \Delta \approx \left.\frac{\mathrm dF(x)}{\mathrm dx}
\right|_{x = x_0} \cdot \delta = f(x_0)\cdot \delta.$$ Por lo tanto, el área de
de esta delgada franja horizontal es de aproximadamente
$F^{-1}(y_0)\cdot \Delta = x_0\cdot f(x_0)\cdot \delta $. Sumando
todas esas áreas $F^{-1}(y_0)\cdot \Delta$ $y_0$ varía de $0$ $1$y tomando el límite cuando $\Delta \to 0$ es la misma que la adición de las áreas de
$x_0\cdot f(x_0)\cdot \delta $ $x_0$ varía de $0$ $\infty$y tomando el límite cuando $\delta \to 0$ lo que nos da
$$\int_{0}^\infty xf(x) \,\mathrm dx,$$
la fórmula estándar para el valor esperado de una variable aleatoria no negativa con la densidad de $f(x)$. Y esa es la razón por la integral en el lado derecho de la $(1)$ tiene el mismo valor de la integral en $(2)$; tan sólo son dos maneras diferentes de calcular el área de una región específica en el sentido positivo del medio-plano.
