¿Cómo podríamos demostrar que:$$\prod_{0 \le j \ne i \le n} \frac{n+1-j}{i-j} = \frac{(n+1)!}{(n+1-i)\cdot i! \cdot (n-i)!}(-1)^{(n-i)} .$ $
El módulo sugiere que podríamos reducirlo simplemente escribiendo$$\prod_{0 \le j \ne i \le n} \frac{n+1-j}{i-j} = \frac{(n + 1)n \cdots (n + 1 − (i − 1))(n + 1 − (i + 1)) \cdots 1}{i(i − 1) \cdots 1 · (−1) \cdots (−(n − i))} ,$ $ pero no puedo averiguar el resultado desde aquí.
Por favor explique su respuesta.
El numerador es
$$\prod_{0 \le j \ne i \le n} (n+1-j) \,.$$
Por escritura término por término llegar
$$(n+1)n(n-1)....(n+1-(i-1))(n+1-(i+1))...1 = \frac{(n+1)!}{n+1-i} \,.$$
El denominador es
$$\prod_{0 \le j \ne i \le n} (i-j)= [i(i-1)(i-2)...(i-(i-1))][(i-(i+1))(i-(i+1))...(i-n)] \,.$$
El primer soporte es exactamente $i!$, mientras que el segundo es $(-1)(-2)...(-(n-i))$. Tomando menos de cada soporte tiene $(-1)^{n-i}(n-i)!$.
Así, el denominador es $(-1)^{n-i}(n-i)!i!$.
Los combinando obtienes exactamente la fórmula que Yuqing publicada.
\begin{equation} \prod{0 \le j \ne i \le n} \frac{n+1-j}{i-j} = \frac{\prod{0 \le j \ne i \le n}(n+1-j)}{\prod_{0 \le j \ne i \le n}(i-j)} \end{equation}
podemos reescribir esto como sigue
\begin{equation} \frac{\prod{0 \le j \ne i \le n}(n+1-j)}{\prod{0 \le j \ne i \le n}(i-j)} = \frac{\prod{0 \le j \le n}(n+1-j)}{(n+1-i) \times \prod{0 \le j
Se puede simplificar la expresión anterior para obtener una expresión similar a lo que ha escrito. Sin embargo, es sólo el $(n+1-i)$ en vez de $(n+1-i)!$ en el denominador del lado derecho.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
