¿Qué significa esta ecuación de la función senoidal?

Question

El libro de Apostol "Cálculo" pide demostrar que

$$\sin\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

utilizando el hecho de que

$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$

y

$$\sin \frac{\pi}{2}=1$$

Por lo tanto, tomamos $x=\frac{\pi}{6}$ y tenemos

$$\sin\frac{\pi}{2}=3\sin\frac{\pi}{6}-4\sin^3 \frac{\pi}{6}$$ $$1=3\sin\frac{\pi}{6}-4\sin^3 \frac{\pi}{6}$$

si tomamos $y=\sin \frac{\pi}{6}$

$$4y^3-3y+1=0$$ $$\left( {y- \frac{1}{2}} \right)^2(y+1)=0$$

y finalmente $y=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ o $y=\sin\frac{\pi}{6}=-1$ . ¿Qué significa?, no sólo debe ser $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ ?

Answer 1

Simplemente tenemos que desechar la "solución" $y = \sin\left(\frac \pi 6\right) = -1\,$ porque para $0 \lt \theta \lt \pi$ , $0 \lt \sin\theta \lt 1$ .

Answer 2

Si es cierto que $\sin\frac\pi6=\frac12$ entonces es cierto que O bien $\sin\frac\pi6=\frac12$ O $\sin\frac\pi6=-1$ .

Hay dos ángulos diferentes que, cuando se multiplican por $3$ , dan ángulos cuyo seno es $1$ . (Considero que dos ángulos son iguales si difieren en un múltiplo de $2\pi$ .) Esos dos ángulos son $\pi/6$ y $-\pi/2$ . Tres veces al $30^\circ$ giro a la izquierda es un $90^\circ$ giro a la izquierda, y tres veces a $90^\circ$ giro a la derecha es también un $90^\circ$ gire a la izquierda. Por eso se obtienen dos soluciones.