Alguien ha oído hablar de este matemáticas fórmula y donde puedo encontrar la prueba para comprobar mi prueba es correcta? $\sum^n_{i = 1}i + \sum^{n-1}_{i=1}i = n^2$

Question

La fórmula básicamente es:

La suma de todos los enteros antes y incluyendo $n$, además de todos los enteros, hasta e incluyendo la $n-1$.

Esto encontrará $n^2$.

$$ \sum^n_{i = 1} + \sum^{n-1}_{i=1}i = n^2 $$

Answer 1

$$\begin{array}{ccccccc}&&&\square&&&\\ &&\blacksquare&\square&\square\\ &\blacksquare&\blacksquare&\square&\square&\square\\ \blacksquare&\blacksquare&\blacksquare&\square&\square&\square&\square \end{array} \left.\rightarrow\quad \begin{array}{cccc} \square&\blacksquare&\blacksquare&\blacksquare\\ \square&\square&\blacksquare&\blacksquare\\ \square&\square&\square&\blacksquare\\ \square&\square&\square&\square \end{array}\quad\right\}n\\ $$

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En números,

$$\underbrace{\begin{array}{lrrrrrrrrr} &n&+&n-1&+&n-2&+&\cdots&+&1\\ +&0&+&1&+&2&+&\cdots&+&n-1\\ \hline &n&+&n&+&n&+&\cdots&+&n \end{array}}_n$$

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En suma signos,

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^ni + \sum_{i=1}^{n-1}i &= \sum_{i=1}^ni + \sum_{i=0}^{n-1}i\\ &= \sum_{i=1}^ni + \sum_{j=1}^{n}(n-j) & (j = n-i)\\ &= \sum_{i=1}^n(i+n-i)\\ &= \sum_{i=1}^n n\\ &= n^2 \end{align*}$$

Answer 2

Se sabe que $$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}.$$ Así el valor de su suma sería de $$\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)(n)}{2}=\frac{n^2+n+n^2-n}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2.$$

Answer 3

Esto es equivalente al hecho bien conocido de que la suma de los primeros a $n$ números impares es $n^2$. Por ejemplo, $1+3+5+7+9+11=36$. ¿Por qué son equivalentes? Debido a esto: \begin{align} 1+2+3+4+5+\phantom16&\\ {}+1+2+3+4+\phantom15&\\ -----------&\\ 1+3+5+7+9+11& \end{align}

Answer 4

Suponiendo que usted considere

$$ \sum^n_{i = 1} = \frac{n(n+1)}{2} $$

para ser un hecho bien conocido, se observa que su suma es justo

$$ \begin{array}{rcl} \sum^n_{i = 1}i + \sum^{n-1}_{i=1}i & = & \sum^n_{i=1}i + \sum^n_{i=1}i - n \\ &=& 2\sum^n_{i=1}i - n\\ &=& 2\frac{n(n+1)}{2} - n\\ &=& n(n+1) - n \\ &=& n^2 + n - n \\ &=& n^2 \end{array} $$

Answer 5

En Zeilberger de la moda: Enchufe $n=2, 3$ en el lado izquierdo para obtener $4, 9$. Ajuste de una ecuación cuadrática a y $n^2$. A continuación, para completar la prueba, simplemente se nota

$$ \left(\sum^{n+1}_{i = 1} + \sum^{n}_{i=1}\right) - \left(\sum^n_{i = 1} + \sum^{n-1}_{i=1}\right) = n+n+1 = (n+1)^2-n^2 $$