¿Es una ecuación que contiene un factorial que todavía se llama "Ecuación de Diophantine"?

Question

Es una ecuación como $x^3+y^4=z!$ , $x,y,z\in\mathbb Z$ , $z\ge 0$ la llamada "ecuación de Diophantine" ?

No estoy seguro de si el único requisito es que las variables deben ser números enteros. Son factoriales permitido, y lo que acerca de algo como $x^3+y^4=2^z$ ?

Una pregunta adicional :

Es cierto que el resultado negativo de Hilbert del décimo problema (no existe un método general para decidir si una ecuación diophantine es solveable en los enteros) ya es válido si sólo permitimos ecuaciones polinómicas ?

Answer 1

Como se puede ver, diferentes personas tienen diferentes opiniones acerca de lo que es una "ecuación de Diophantine". E. g., durante mucho tiempo, algunas personas se refieren racional de las soluciones de las ecuaciones, y los demás significaba entero. Estos son significativamente diferentes, ya que, como era de esperar, la clasificación de entero de soluciones es mucho más complicada que la clasificación de los racionales soluciones.

Y, de hecho, sea para pedir entero soluciones o racional, la diversas más o menos restrictiva de los tipos tienen diferentes propiedades, como ya sabemos este año. Por ejemplo, creo que todos los de la moderna veces los resultados que uso (moderno) geometría algebraica pueden dar a luz en ecuaciones polinómicas, por obvias razones, ya sea abordando racional o entero de soluciones. (Mordell-Weil, Faltings, et al).

Pero en un sentido amplio, especialmente si pidiendo entero de soluciones, en un sentido amplio de "Diophantine" sin duda puede permitir "razonable" de las operaciones sobre los números enteros. A la pregunta de si hay sistemática de la maquinaria que podría influir en las preguntas depende enormemente de lo, en su caso, de un contexto más grande tal pregunta podría ser incrustado.