¿Hay alguna manera de resolver ecuaciones de recurrencia con coeficientes variables?

Question

Hasta ahora he hecho algunos de los problemas que se resuelven mejor el uso de funciones de generación. Estos contienen en su mayoría variable con coeficientes. Un sencillo de una es $H(n) = (n+2)H(n-2)$. He encontrado las soluciones a estas ecuaciones usando inducción matemática, que requiere un poco de conjeturas (por comprobar el resultado para los valores iniciales) y después de probarlo. Pero, ¿qué acerca de la más grande de las ecuaciones* ¿hay una manera definida de problemas y la obtención de una fórmula simple (sin tener que recurrir a la generación de funciones)?

editar: *Funciones como $H(n) =f_1(n)H(n-1) + f_2(n)H(n-2) + \cdots + f_k(n)H(n-k)$. Donde $f_1, f_2,\dots, f_k$ son funciones de la $n$.

Answer 1

$n\to n+2$ :

$H(n+2)=(n+4)H(n)$

$n\to 2n$ :

$H(2n+2)=(2n+4)H(2n)$

$H(2(n+1))=2(n+2)H(2n)$

$H(2n)=\Theta_1(n)\prod\limits_n(2(n+2))$, donde $\Theta_1(n)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad

Según http://en.wikipedia.org/wiki/Indefinite_product#Rules ,

$H(2n)=\Theta_1(n)2^n\Gamma(n+2)$, donde $\Theta_1(n)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad

$H(n)=\Theta(n)2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+2\right)$, donde $\Theta(n)$ es una arbitraria función periódica con período $2$