Si $f'(x):\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es una isometría, entonces $f(x)=T(x)+a$.

Question

Hola amigos, estoy tratando de resolver este problema:

Que $f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ $\in \mathrm C^1$ tales que para todos los $x \in \mathbb R^n$, $f'(x):\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es una isometría (es decir, $||f'(x)\cdot v||=||v||$) con respecto a la norma euclidiana.

Muestran que existe una transformación lineal $T:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ y un % de vector $a\in\mathbb R^n$tal que

$$f(x)=T(x)+a, \forall x\in \mathbb R^n$$

No sé si esta información será útil, pero ya he demostró que $f$ también es una isometría (es decir $||f(x)-f(y)||=||x-y||$)

Answer 1

De acuerdo con su comentario, usted sólo tiene que mostrar:

Teorema. Las únicas funciones en $\Bbb R^d$ que son isometrías son traducciones ortogonal de funciones lineales.

Prueba: dividido en varios pasos. Suponga $\mathrm{A}$ es una isometría en $\Bbb R^d.$

1. Si $\mathrm{A}$ corrige el origen, $\mathrm{A}$ preserva la norma. Desde $\mathrm{A}(0) = 0,$ resulta que $\| \mathrm{A}(x) \| = \| \mathrm{A}(x) - \mathrm{A}(0) \| = \|x - 0\| = \|x\|.$
2. Si $\mathrm{A}$ corrige el origen, preserva producto interior; de hecho, en primer lugar, observe que $\|x - y\|^2 = \|\mathrm{A}(x) - \mathrm{A}(y)\|^2$ por isometría, la expansión y el uso de ese $\mathrm{A}$ preservador de la norma (1.), uno se $(x \mid y) = (\mathrm{A}(x) \mid \mathrm{A}(y)).$
3. Si $\mathrm{A}$ corrige el origen, preservador ortogonal. De hecho, vamos a $(u_k)$ denotar una base ortogonal de $\Bbb R^d$; a continuación, $(\mathrm{A}(u_k))$ es también un ortogonales de la familia con $d$ elementos, por lo tanto, una base de $\Bbb R^d$ (esto es donde la finitud de la dimensión es crucial en mi prueba; si usted puede tomar una periferical avenida y evitar este argumento, la prueba debe ir en cualquier verdadero espacio de Hilbert).
4. Cualquier $x \in \Bbb R^d$ puede ser escrito como $\displaystyle x = \sum_{k = 1}^d \dfrac{(x \mid u_k)}{\| u_k \|^2} u_k$ mediante el uso de su ortogonal de expansión de la base de la $u.$ Similarmente $\displaystyle \mathrm{A} x = \sum_{k = 1}^d \dfrac{(\mathrm{A} x \mid \mathrm{A} u_k)}{\| \mathrm{A} u_k \|^2} \mathrm{A} u_k = \sum_{k = 1}^d \dfrac{(x \mid u_k)}{\|u_k \|^2} \mathrm{A} u_k$ mediante el uso de la expasion de $\mathrm{A} x$ con la base de $\mathrm{A} u.$, $\mathrm{A}$ es lineal.
5. Final de la prueba. La función lineal $\mathrm{A}' = \mathrm{A} - \mathrm{A}(0)$ es una isometría ($\mathrm{A}'(x) - \mathrm{A}'(y) = \mathrm{A}(x) - \mathrm{A}(y)$), por lo que es lineal. Por lo tanto, $\mathrm{A}(x) = \mathrm{T}(x) + v.$ QED