Recientemente he aprendido que la siguiente "ecuación de onda" no está bien planteado $$ \begin{cases} \partial_{tt}u=\partial_{xx} u, & (0,1)\times\mathbb R\\ u(t,0)=u(t,1)=0,&t\in [0,1] \end{casos} $$
ya que la solución no va a ser único. Me han dicho que en este caso es suficiente con que uno especifica $\partial_t u(0,0)$ $\partial_t u(0,1)$ a fin de tener una solución única y puedo entender la prueba. Pero, ¿podrían por favor alguien que me explique lo que está pasando aquí moralmente? ¿Por qué es que especificar sólo $u(\cdot,0)$ $u(\cdot,1)$ no es suficiente, sino que además la especificación de los derivados, a continuación, es suficiente? Me encantaría una explicación que me permite tener una idea más general de las ecuaciones de cual sería suficiente inicial de los datos.
Si eso es demasiado vaga, considere el ejemplo concreto: es el siguiente calor-tipo de ecuación bien planteado $$ \begin{cases} \partial_{t}u+\triangle^2u=0, & (0,\infty)\times\mathbb R^d\\ u(0,x)=f(x)\in C^\infty_c(\mathbb R^d\to\mathbb R) \end{casos} $$
siempre buscamos soluciones sólo con sub-exponencial de crecimiento (como con la habitual ecuación del calor) o tengo que especificar más información acerca de los derivados de la solución en $t=0$ o algo completamente distinto? Y, ¿cómo puede usted decir de cualquier manera?