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¿Cómo saber si se han especificado suficientes datos iniciales para una ecuación diferencial?

Recientemente he aprendido que la siguiente "ecuación de onda" no está bien planteado $$ \begin{cases} \partial_{tt}u=\partial_{xx} u, & (0,1)\times\mathbb R\\ u(t,0)=u(t,1)=0,&t\in [0,1] \end{casos} $$

ya que la solución no va a ser único. Me han dicho que en este caso es suficiente con que uno especifica $\partial_t u(0,0)$ $\partial_t u(0,1)$ a fin de tener una solución única y puedo entender la prueba. Pero, ¿podrían por favor alguien que me explique lo que está pasando aquí moralmente? ¿Por qué es que especificar sólo $u(\cdot,0)$ $u(\cdot,1)$ no es suficiente, sino que además la especificación de los derivados, a continuación, es suficiente? Me encantaría una explicación que me permite tener una idea más general de las ecuaciones de cual sería suficiente inicial de los datos.


Si eso es demasiado vaga, considere el ejemplo concreto: es el siguiente calor-tipo de ecuación bien planteado $$ \begin{cases} \partial_{t}u+\triangle^2u=0, & (0,\infty)\times\mathbb R^d\\ u(0,x)=f(x)\in C^\infty_c(\mathbb R^d\to\mathbb R) \end{casos} $$

siempre buscamos soluciones sólo con sub-exponencial de crecimiento (como con la habitual ecuación del calor) o tengo que especificar más información acerca de los derivados de la solución en $t=0$ o algo completamente distinto? Y, ¿cómo puede usted decir de cualquier manera?

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avs Puntos 803

Vamos a pensar en la función de los espacios como espacios vectoriales, y de la ecuación lineal (ODE o PDE) de esta forma: encontrar $u$ que satisface $$ Au = f, $$ donde $f$ es una función conocida, y $A$ un conocido operador lineal.

La solución de $u$ va a dejar de ser único, si $A$ tiene un kernel que no sea trivial. I. e., si $w$ reside en que el kernel (es decir, si $Aw = 0$), y si $u$ es una solución, entonces se $(u+w)$.

Las condiciones de frontera están ahí para restringir el subespacio (del dominio de $A$) a partir de la cual se nos permite tomar $u$. Si la intersección de este subespacio con el kernel de $A$ es el vector cero de espacio, vamos a tener la exclusividad.

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TrialAndError Puntos 25444

Cuando usted puede usando separación de variables para encontrar soluciones, a menudo ayuda en la clasificación de las condiciones necesarias para su solución. Por ejemplo, en su primera ecuación, $u(t,x)=T(t)X(x)$ es una solución de la ecuación, donde $x\in\mathbb{R}^{d}$ si no hay un parámetro $\lambda$ tal que $$ \frac{T"(t)}{T(t)} = \lambda = \frac{\Delta X(x)}{X(x)} $$ Debido a las condiciones a $T(0)=0=T(1)$, el parámetro de $\lambda$ es determinado por a $\lambda=-n^2\pi^2$ donde $n=1,2,3\cdots$; las soluciones $T$ $$ T_n(t) = \sin(n\pi t). $$ Hay varias maneras de construir soluciones de $$ \Delta X = -n^2\pi^2 X. $$ Por ejemplo, si $\mu_n$ es cualquier finito complejo medida en $|\xi|=n\pi$ (que es un ámbito en $\mathbb{R}^{d}$), a continuación, la siguiente es una solución de este tipo: $$ X_{n,\mu}(x) = \int_{|\xi|=n\pi}e^{i\xi\cdot x}d\mu_n(\xi). $$ Así que hay infinitamente muchas soluciones dictadas por las decisiones de las constantes de $A_n$ y las medidas de $\mu_n$: $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\pi t)\int_{|\xi|=n\pi}e^{i\xi\cdot x}d\mu_n(\xi) $$

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