Es $SO_n({\mathbb R})$ divisible grupo?

Question

El título lo dice todo ... Formalmente, si $SO_n(\mathbb R)=\lbrace A\in M_n({\mathbb R}) |AA^{T}=I_n, {\sf det}(A)=1 \rbrace$ y $W\in SO_n(\mathbb R)$, es cierto que para cada entero $p$, hay un $V\in SO_n(\mathbb R)$ satisfacción $V^p=W$ ?

Esto es evidente cuando $n=2$, debido a las rotaciones en el plano se definen por un ángulo que puede ser dividido a su voluntad.

Answer 1

Cada compacto conectado Mentira grupo $G$ (e $SO(n)$ es a la vez compacto y conectado) es divisible desde su exponencial mapa de $\exp$ es surjective (ver aquí). Por surjectivity de $\exp$, cada elemento de a $g$ $G$ tiene la forma $\exp(v)$ ( $v\in {\mathfrak g}$ , la Mentira álgebra de $G$) y, por lo tanto, para $h=\exp(v/p)$ obtenemos $h^p=g$.

Answer 2

Dado un elemento de $O(n)$, se puede representar en bases convenientes como la manzana de la diagonal de la matriz $\mathrm{diag}(R_1,\dotsc,R_n,\pm 1,\dotsc,\pm 1)$ donde $R_i$ $2\times 2$ rotación de las matrices. Si se encuentra en $SO(n)$, el número de $-1$s es aún. Por lo tanto, es suficiente para encontrar las raíces de la $R_i$ (lo cual es fácil, sólo podemos escalar el ángulo de rotación) y de $\mathrm{diag}(1,1)=I$ (que es trivial) y $M=\mathrm{diag}(-1,-1)$. Pero $M$ es de nuevo una matriz de rotación con un ángulo $\pi$.