El resultado de iteraciones de $n$ $x_{\text{output}}=\arctan\left(c\tan(x_{\text{input}})\right)$

Question

La función está dada por:

$$x_{\text{output}}=\arctan\left(c\tan(x_{\text{input}})\right)$$

donde $c$ es una constante entre los $0$ e $1$.

Después de una salida, la salida se convierte en la entrada para la siguiente iteración.

Me gustaría saber cómo encontrar el ángulo (o $x_{\text{output}}$) después de la $n$ iteraciones.

Yo podría hacer una tabla, pero si $n$ es grande esto es tedioso...

Gracias!

Answer 1

<span class="math-container">$$f(x)=\arctan(c\tan x)$$</span> <span class="math-container">$$f^2(x)=\arctan(c\tan\arctan(c\tan x))=\arctan(c^2\tan x)$ $</span> desde <span class="math-container">$\tan\arctan x=x$</span> <span class="math-container">$x\in\mathbb R$</span> (al revés no es <span class="math-container">$x$</span>).

Repitiendo, conseguimos <span class="math-container">$$f^n(x)=\arctan(c^n\tan x)$ $</span> para que las iteraciones de la función se pueden computar por "encender" <span class="math-container">$c$</span> y luego aplicar la fórmula del arco tangente/tangente en una sola toma.