Esto puede ser una tontería, pero no estoy seguro:
¿Existe un subconjunto medible de Lebesgue $E \subseteq (0,1)$ tal que
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$E$ y $(0,1) \setminus E$ ambos tienen medida de Lebesgue positiva.
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$E$ y $(0,1) \setminus E$ ambos tienen el interior vacío.
Si relajamos la condición $1$ entonces $E=Q\cap (0,1)$ funciona. Si relajamos la condición $2$ entonces el El conjunto gordo de Cantor hace el trabajo . (Sin embargo, su complemento tiene un interior no vacío).
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En mi respuesta a esta pregunta Construí un $F_\sigma$ set $M\subseteq\mathbb R$ tal que $0\lt m(M\cap I)\lt m(I)$ para cada intervalo $I$ , donde $m$ denota la medida de Lebesgue. Obviamente, los conjuntos $M$ y $\mathbb R\setminus M$ tienen medida de Lebesgue positiva y tienen interiores vacíos, y lo mismo ocurre con los conjuntos $E=M\cap(0,1)$ y $(0,1)\setminus E$ .
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Qué irracionales en $(0,\frac12)$ con racionales de $(\frac12,1)$ no son lo suficientemente buenos para ti? ¿Desde cuándo te has vuelto tan exigente? ¿Están las cosas realmente tan mal desde que me fui?