Una novedosa (?) construcción del pentágono regular con regla y compás

Question

Con referencia al triángulo $\triangle ABC$ ilustrado en la imagen siguiente, dado el lado $AC$ Los cinco puntos $B,D,E,F,G$ en las condiciones que se comentan aquí , determinar un círculo (rojo).

Consideremos el caso en el que $\triangle ABC$ es isósceles. En este caso, el punto $B$ se encuentra en la bisectriz (línea discontinua) del lado $\overline{AC}$ .

Ahora, dibujamos el círculo con centro en $C$ y pasando por $A$ (verde) y la prolongación del lado $BC$ (marrón), obteniendo los puntos $H$ y $I$ .

Desde $B$ debe estar sobre la línea de puntos, sólo hay un caso en el que los puntos $H$ y $I$ coinciden:

Mi conjetura es que, si $H\equiv I$ los puntos $B,D,E,F,G$ determinar un pentágono regular.

Me pregunto si puede ayudarme a probar o refutar tal conjetura.

Gracias por su ayuda. Me disculpo en caso de incorrecciones o trivialidades.

Answer 1

En todas las fotos tomar $a=AF=AD=CE$ , $b=BF=DE$ . Así, los lados de $ABC$ son $a+b$ resp. $2a+b$ . Además tienes $AI=a+b$ y $CH=2a+b$ .

Así, cuando $H=I$ en cuanto a las 2 últimas fotos, el triángulo $AC(H=I)$ también tiene justo esas longitudes laterales. Por lo tanto tienes el par de triángulos áureos, el obtuso y el agudo aquí. Y de ahí se deduce que el pentágono $BFDEG$ verdaderamente es regular, con una longitud de lado $b$ .

Entonces incluso podrías deducir que $D$ , $F$ y $(H=I)$ son colineales y que $F(H=I)=a$ también.

--- rk