Para cada entero $n$, vamos a $p(n)$ ser la número de número entero no negativo triples $(x,y,z)$ tales que
$$3x+4y+5z=n$$
Por medio de la inclusión-exclusión, se obtiene la recursividad
$$
p(n)=
\begin{cases}
\text{if}\;n<0,\;\text{then}\\[3.5pt]
\qquad 0\\[2.5pt]
\text{else if}\;n=0,\;\text{then}\\[3.5pt]
\qquad 1\\[.6pt]
\text{else}\\[.4pt]
\qquad p(n-3)+p(n-4)+p(n-5)-p(n-7)-p(n-8)-p(n-9)+p(n-12)\\
\end{casos}
$$
A continuación se muestra que $p$ es no decreciente para $n\ge 1$ . . .
Para cada entero positivo $n$, vamos
\begin{align*}
a(n)&=p(n+60)-p(n)\\[4pt]
b(n)&=a(n+1)-a(n)\\[4pt]
c(n)&=b(n+1)-b(n)\\[4pt]
\end{align*}
La aplicación de la recursividad tantas veces como sea necesario (utilizando Maple), podemos reducir cada una de las $a(n),b(n),c(n)$ a un entero combinación lineal de $p(n-1),...p(n-12)$, produciendo
\begin{align*}
a(n)&={\large{\langle}}{37, 38, 39, 3, -34, -72, -74, -39, -3, 34, 35, 36}{\large{\rangle}}\cdot \vec{P}\\[4pt]
b(n)&={\large{\langle}}{ 1, 1, 1, 0, -1, -2, -2, -1, 0, 1, 1, 1}{\large{\rangle}}\cdot \vec{P}\\[4pt]
c(n)&={\large{\langle}}{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}{\large{\rangle}}\cdot \vec{P}\\[4pt]
\end{align*}
para todos los $n\ge 1$, donde $\vec{P}={\large{\langle}}{p(n-1),...,p(n-12)}{\large{\rangle}}$.
Por evaluación directa, obtenemos $b(1)=1$.
Desde $c(n)=0$ para todos los $n\ge 1$, obtenemos $b(n)=b(1)=1$ para todos los $n\ge 1$.
Nuestro objetivo es demostrar $p(n)\le p(n+1)$ para todos los $n\ge 1$.
Proceder por la fuerte inducción en $n$.
Por evaluación directa, obtenemos $p(1) \le p(2) \le p(3) \le \cdots \le p(61)$.
El próximo supongamos que para algunos $n\ge 61$, tenemos $p(k)\le p(k+1)$ para todos los enteros positivos $k < n$.
\begin{align*}
\text{Then}\;\;&b(n-60)=1\\[4pt]
\implies\;&a(n-59)-a(n-60)=1\\[4pt]
\implies\;&\bigl(p(n+1)-p(n-59)\bigr)-\bigl(p(n)-p(n-60)\bigr)=1\\[4pt]
\implies\;&p(n+1)-p(n)=\bigl(p(n-59)-p(n-60)\bigr)+1\\[4pt]
\implies\;&p(n+1)-p(n)\ge 1\\[4pt]
\implies\;&p(n) < p(n+1)\\[4pt]
\implies\;&p(n)\le p(n+1)\\[4pt]
\end{align*}
que completa la inducción.
Por lo tanto, $p$ es no decreciente para $n\ge 1$, como iba a ser mostrado.
