El producto de dos matrices de suma cero

Question

Supongamos que $A \in Mat_{m \times n}( \mathbb {R}), B \in Mat_{n \times r}( \mathbb {R}).$ y sus sumas de fila son $0$ es decir. $\displaystyle\sum_jA_ {ij}= \sum_j B_{ij}=0.$ Supongamos que $AB=C$ . Muestra que la suma de la fila de $C$ es todavía $0$ .

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Mi intento:

Supongamos que $A \in Mat_{m \times n}( \mathbb {R})$ es una matriz arbitraria y $B \in Mat_{n \times r}( \mathbb {R})$ es la matriz que la suma de filas de $B$ es $0$ .

El $ith$ La suma de la fila es $$\begin {align} \displaystyle\sum_ {j=1}^r (AB)_{ij} &= \sum_ {j=1}^r \sum_ {k=1}^n a_{ik}b_{kj} \\ &= \sum_ {k=1}^n \sum_ {j=1}^r a_{ik}b_{kj} \\ &= \sum_k ^na_{ik}( \sum_j ^r b_{kj}) \\ & = \sum_k ^n a_{ik}*0,~~~~ \text {since the row sum of $ B $ is $ 0 $}. \end {align}$$

Así que, la suma de fila del producto $AB$ es $0$ . Entonces, si las sumas de las dos matrices son $0$ entonces la suma de la fila de su producto $C$ es también $0$ (porque siempre podemos tener una matriz de suma cero a la derecha).

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¿Mi prueba es correcta? ¿Puede alguien comprobarlo por mí? Muchas gracias.

Answer 1

De hecho, su prueba es correcta. Bien hecho.

Sin embargo, hay otra prueba que encuentro más intuitiva ya que estoy acostumbrado al análisis de matrices. En primer lugar, podemos mostrar que un $m \times n$ matriz $A$ tendrá una suma cero si y sólo si el producto $AM$ es cero, donde $M$ es el $n \times 1$ columna-vector $$M = \pmatrix {1 \\1\\ \vdots \\ 1}$$ A partir de ahí, podemos usar la asociatividad del producto de la matriz para mostrar que el producto de la matriz $(AB)M$ debe ser cero, donde $M$ en este caso tiene el tamaño $r \times 1$ . Puede ser interesante observar cómo el movimiento del paréntesis de $(AB)M$ a $A(BM)$ corresponde a la reordenación de su suma.