¿Cómo puede una partícula en movimiento circular alrededor de un punto fijo acelerar, si el punto no lo hace también?

Question

Cuando una partícula realiza un movimiento circular uniforme unida a una cuerda alrededor de un centro fijo, en cualquier instante de tiempo su aceleración se dirige hacia el centro, pero el centro no tiene aceleración. Pero en la escuela me enseñaron que esto no es posible debido a la restricción de la cuerda:

Las aceleraciones de los extremos de una cuerda son las mismas si la cuerda no está floja.

¿En qué me equivoco?

Answer 1

Supongo que te refieres a la restricción de la cuerda de que la tensión debe ser igual en ambas direcciones en todos los puntos de la cuerda excepto en los extremos, donde la tensión en los extremos debe ser igual y opuesta.

Así que para un objeto que se mueve en movimiento circular alrededor de un punto fijo unido a una cuerda, tienes razón en que el objeto se mueve en círculo debido a la tensión de la cuerda que da la fuerza centrípeta. Creo que tu confusión viene de que ¿el punto central no debería sentir también una tensión y por tanto acelerar?

Así que la respuesta viene de la definición de "punto fijo". En la vida real esto significa clavar algo en el suelo, o pegarlo, o colocarlo entre una roca y un lugar duro, etc. Esto significa que el centro sentirá efectivamente la tensión, pero también sentirá alguna fuerza de resistencia (normalmente fuerzas normales o de fricción) que le impedirá acelerar.

Si el punto central no fuera "fijo", entonces el movimiento circular sería inmediatamente parar, la cuerda se aflojaría inmediatamente, y el problema se volvería mucho más complejo.

Espero que esto haya respondido a su pregunta.

Answer 2

Para destilar (las respuestas anteriores son correctas, pero quizás innecesariamente largas si entiendo su punto de confusión):

Para un sistema rígido que se mueve sin rotación todos los puntos del sistema se mueven con la misma aceleración.

En cualquier otro caso (es decir, si hay algún cambio en la orientación del sistema) esto ya no es cierto.

Answer 3

las aceleraciones de los dos extremos a lo largo de la cuerda son iguales si la cuerda no está aflojada

Ahora, entiendo su problema.

Si tienes una cadena colocada en forma de s en el vacío y si empiezas a tirar de él desde un extremo finalmente se convierte en l Aquí se puede decir que la cuerda no se afloja porque la aceleración de ambos extremos es la misma.

En el caso de un movimiento circular, es decir, una partícula que gira alrededor de un centro fijo, la cuerda proporciona la fuerza necesaria para mantener la partícula en movimiento alrededor del centro y esta fuerza se denomina tensión.

Ahora, como la cuerda no se afloja, ¿la aceleración de ambos extremos es la misma?

Quiero explicar lo que ocurre en términos de fuerzas y no de aceleración:

La tercera ley de acción y reacción de Newton establece que si la cuerda ejerce una fuerza centrípeta hacia el interior sobre la partícula, ésta ejercerá una reacción igual pero hacia el exterior sobre la cuerda, la fuerza centrífuga reactiva.

La cuerda transmite la fuerza centrífuga reactiva de la partícula al centro, tirando de él. De nuevo, según la tercera ley de Newton, el centro ejerce una reacción sobre la cuerda, tirando de ella. Las dos fuerzas que actúan sobre la cuerda son iguales y opuestas, por lo que no se ejerce ninguna fuerza neta sobre la cuerda (suponiendo que la cuerda no tiene masa), pero la cuerda se tensa, es decir, no se afloja.

La razón por la que el centro parece ser "inamovible" (no se acelera) es porque es fijo. Si la bola giratoria estuviera atada al mástil de un barco, por ejemplo, el mástil del barco y la bola experimentarían una rotación alrededor de un punto central.

Answer 4

En la escuela me enseñaron que las aceleraciones de ambos extremos a lo largo de la cuerda son iguales si la cuerda no está floja, es decir, la restricción de la cuerda.

Ya hay muchas respuestas buenas, pero empezaré discutiendo en qué contexto escuchaste esto.

Probablemente te lo han contado en el escenario de dos objetos conectados por una cuerda, y entonces tiras horizontalmente de un objeto para tirar de todo el sistema. En este caso tienes razón. Si la cuerda no está aflojada, entonces las aceleraciones de cada extremo de la cuerda deben ser las mismas. En este punto la cuerda actúa como un cuerpo rígido sin masa. Como todo el sistema tendrá una única aceleración, debe ser que todo puntos (no sólo los extremos) de la cuerda tienen la misma aceleración. Si no fuera así, la cuerda se estiraría en algunos puntos o se doblaría sobre sí misma en algunos puntos.

Ahora bien, en el caso del objeto giratorio unido a una cuerda, en realidad tienes un "problema" mayor de lo que crees. Técnicamente todos los puntos a lo largo de la cuerda tienen un diferentes ¡aceleración! Esto se debe a que, suponiendo una velocidad angular constante $\omega=v/r$ , $$a=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$$

Así que si el núcleo de tu pregunta es por qué la "restricción de la cuerda" no se aplica aquí, deberías estar mirando todos los puntos a lo largo de la cuerda. No sólo el extremo en el centro.

La razón por la que esto ocurre es porque a medida que te acercas al centro del círculo, la velocidad lineal se hace cada vez más pequeña. Dado que la aceleración es un cambio en la velocidad, esto significa que la aceleración también será menor. En el centro del círculo, la velocidad es constante ( $0$ ), por lo que la aceleración debe ser $0$ también.

Así que la resolución de tu pregunta es realmente eso la "restricción de la cadena" no es una verdadera restricción en este sistema (a menos que encuentres una forma de reformularlo para que sea más general). Lo que aprendiste en la escuela probablemente se dijo en el contexto de un problema particular, y no pretendía ser una generalización de cómo se comportan las cadenas en todos los contextos.

Answer 5

Sospecho que lo que te han enseñado en realidad es que el componente de velocidad a lo largo de la cuerda es la misma en ambos extremos, o que la fuerza / La tensión es la misma. Se podría pensar que ambos implican también una componente de aceleración igual, por simple $f(x) = g(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x)$ consideración o mediante la segunda ley de Newton, respectivamente. Pero, en realidad, ¡no es ninguno de los dos casos!

Para tomar la derivada de estas velocidades, hay que tener en cuenta que la dirección cambios. $$\begin{align} \mathbf{v}_0(t) =& 0 \\ \mathbf{v}_1(t) =& r\cdot\omega\cdot\begin{pmatrix}-\sin(\omega\cdot t)\\\cos(\omega\cdot t)\end{pmatrix} \end{align}$$ La componente radial de $\mathbf{v}_1$ es efectivamente siempre cero $$ \mathbf{v}_1(t)\cdot\mathbf{e}_{\mathrm{r}} = r\cdot\omega\cdot\Bigl(-\cos(\omega\cdot t)\cdot\sin(\omega\cdot t) + \sin(\omega\cdot t)\cdot\cos(\omega\cdot t)\Bigr) = 0 $$

pero la componente radial de la aceleración es distinta de cero. Hay que tomar primero la derivada de la velocidad vector , entonces proyectarla en la dirección radial, no tomar la derivada de la velocidad radial solamente. $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t} = r\cdot\omega^2\cdot\begin{pmatrix}-\cos(\omega\cdot t)\\-\sin(\omega\cdot t)\end{pmatrix} = -r\cdot\omega^2\cdot \mathbf{e}_{\mathrm{r}}. $$ Con la ley de Newton no se puede discutir porque esto supone masas . Para un verdadero movimiento circular alrededor de un centro, se necesita un ancla central infinitamente masiva y un satélite de masa finita. El centro tiene entonces una aceleración prácticamente nula a pesar de manejar una fuerza importante. No es así para el satélite.