¿Es el sitio étale una pequeña categoría?

Question

Considerar la étale sitio $X_{ét}$ de un esquema de $X$. Como una categoría, esta es la colección de todos los étale esquemas más de $X$.

Ahora, es este un conjunto (es decir, es el étale sitio de una pequeña categoría)? Si $X=Spec\ k$, uno podría sospechar que cada conjunto tiene un esquema de la estructura que es étale más de $X$. Es decir, $\coprod Spec \ k$, donde el subproducto es la cardinalidad del conjunto. Si es así, la clase de étale esquemas más de $X$ sería una clase adecuada.

¿Es esto cierto?

Gracias de antemano.

P. S.: Mi pregunta está motivada por lo siguiente: si $X_{ét}$ es una clase adecuada, me temo $Sets^{X_{ét}^{op}}$ no debería ser una categoría. Pero la teoría de la étale cohomology y de la étale topos se basa en el hecho de que su "subcategoría" de las poleas en el étale sitio $Sh(X_{ét})$ es de hecho una categoría (que llamamos la étale topos). Así que, o bien $Sh(X_{ét})$ mientras $Sets^{X_{ét}^{op}}$ no es, lo que sería extraño para mí, o tenemos un problema.

Answer 1

Tienes razón: $X_{ét}$ es grande (de hecho, esencialmente grande). Esto significa que no existe una categoría de presheaves en $X_{ét}$ en ZFC, o si usted está usando universos sería necesario para ir a un mayor universo para hablar sobre la categoría de presheaves.

Sin embargo, la categoría de poleas $Sh(X_{ét})$ es de hecho una auténtica categoría que puede ser definido sin la ampliación de su universo. Esto es porque hay un pequeño conjunto de objetos de $X_{ét}$ que puede ser utilizado para cubrir todos los demás objetos, y así una gavilla está determinada únicamente por los valores que toma una pequeña subcategoría de $X_{ét}$. De hecho, desde un étale mapa es localmente finito de presentación, es suficiente con considerar afín a los esquemas, que son finitely presentado étale cubre de afín a abrir los subconjuntos de a$X$, y hay una (esencialmente) conjunto pequeño de estos.