Valor máximo y mínimo de $\int_0^1 f(x)dx $ dado $|f'(x)|<2$

Question

Dejemos que $f:\mathbb R\to \mathbb R$ sea una función diferenciable tal que $f(0)= 0$ y $f(1)= 1$ y $|f'(x)|<2 ~ \forall x \in \mathbb R$ , si $a$ y $b$ son números reales tales que el conjunto de valores posibles de $\displaystyle\int_0^1 f(x)dx $ es el intervalo abierto $(a,b)$ entonces $b-a$ es: ?

Intento:

$$I = \int_0^1 1.f(x) dx$$

$$\implies I = 1 - \int_0^1 xf'(x)dx $$ (Integración por partes)

$$-2 < f'(x) < 2$$

$$\implies -2x <xf'(x)< 2x$$ para $x>0$

$$\implies -1 < \int_0^1 xf'(x) dx < 1$$

Por lo tanto, $I_{max} = 2$ y $I_{min} = 0$

$\implies b- a = 2$ pero la respuesta dada es $b-a = \dfrac 3 4$ .

Por favor, indíqueme mi error y la forma correcta de solucionarlo.

Answer 1

Sus estimaciones son correctas, pero no son nítidas. Por ejemplo, en $$ I = 1 - \int_0^1 xf'(x)dx > 1 - \int_0^1 2 x dx = 0 $$ $I$ estaría cerca del límite inferior $0$ sólo si $f'(x) \approx 2$ en el intervalo completo, lo que no es posible con $f(0)=0$ y $f(1) =1$ .

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La solución es en realidad más sencilla: utilizar el teorema del valor medio para obtener los límites superior e inferior de las funciones admisibles $f$ .

• Desde $f(0) = 0$ y $f'(x) < 2$ se deduce que $f(x) < 2x$ para $0 < x \le 1$ .

• Desde $f(1) = 1$ y $f'(x) > -2$ se deduce que $f(x) < 1 - 2(x-1) = 3-2x$ para $0 \le x < 1$ .

Juntos: $f(x) < \max(2x, 3-2x)$ para $0 < x < 1$ lo que implica que $\int_0^1 f(x) \, dx < \frac 78$ .

Del mismo modo, demuestre que $\int_0^1 f(x) \, dx > \frac 18$ .

Por último, demuestre que la integral puede acercarse arbitrariamente a esos límites.

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También puedes resolverlo gráficamente dibujando líneas con pendientes $-2$ y $+2$ partiendo de los puntos dados $(0, f(0))$ y $(1, f(1))$ .

El gráfico de $f$ debe estar entre la curva verde y la roja. $(b-a)$ es el área entre esas curvas, y que es igual al área de el rectángulo azul.