$\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ Vi un argumento de que el ideal $I=(x^2+y^2-1, z^2+w^2-1)$ es un ideal primo en $\Q[x,y,z,w]$ pero no veo por qué. Intenté encontrar un homomorfismo surjetivo de $\Q[x,y,z,w]$ sobre algún dominio integral con núcleo $I$ pero en vano. ¿O debería considerar mostrar el conjunto $\{(x,y,z,w)\mid x^2+y^2=1,z^2+w^2=1\}\subset\Q^4$ ¿es irreducible?
Gracias de antemano...
Es bien sabido que el producto de variedades geométricamente irreducibles es de nuevo geométricamente irreducible (esto equivale a la afirmación de que si $A,B$ son $k$ -para $k$ algebraicamente cerrado y $A,B$ no tienen divisores de cero, entonces $A\otimes_k B$ no tiene divisores cero). Demostramos que $\operatorname{Spec}\Bbb Q[x,y]/(x^2+y^2-1)$ es geométricamente irreducible.
Cambio de base al cierre algebraico $\overline{\Bbb Q}$ , obtenemos que nuestra variedad es $\operatorname{Spec}\overline{\Bbb Q}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $x^2+y^2-1$ es irreducible sobre $\overline{\Bbb Q}$ . Hasta el cambio lineal de coordenadas $x=x+iy,y=x-iy$ este polinomio se factoriza como $xy-1$ que se puede demostrar rápidamente que es irreducible (sólo podría factorizar como un producto de polinomios lineales, pero puedes ver por ti mismo que no es así).
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Hm, si estuviéramos trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ podríamos escribir $\frac{k[x,y,z,w]}{(x^2+y^2-1, z^2+w^2-1)} \cong \frac{k[x,y]}{(x^2 + y^2 - 1)} \otimes_k \frac{k[z,w]}{(z^2+w^2-1)}$ y luego utilizar el hecho de que el producto de variedades irreducibles es una variedad . Pero como $\mathbb{Q}$ no es algebraicamente cerrado, no estoy seguro de que funcione...
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¿Puede demostrar que su ideal es primordial en $\mathbb{Q}[\sqrt{-1}][x,y,z,w]$ ? Entonces, ¿deduce lo que quiere?
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Tal vez, hay un resultado general como este. "Dejemos $A$ y $B$ sean álgebras asociativas sobre $K$ (un dominio integral o un campo, no lo sé). Si $A$ y $B$ son a su vez dominios integrales, entonces $A\otimes_K B$ es también un dominio integral". Si hay algo así entonces podemos usar $$\mathbb{Q}[x,y,z,w]/(x^2+y^2-1,z^2+w^2-1)\cong \big(\mathbb{Q}[x,y]/(x^2+y^2-1)\big)\otimes_\mathbb{Q}\big(\mathbb{Q}[z,w]/(z^2+w^2-1)\big)$$ @André3000 sugirió. Puede alguien confirmar o contradecir la cita?
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Esta respuesta puede ser relevante.
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@Zvi creo que tu conjetura es falsa en ese nivel de generalidad por las variedades que son irreducibles, pero no geométricamente irreducible . Toma $K = \mathbb{R}$ , $A = \mathbb{R}[x,y]/(x^2 + y^2)$ y $B = \mathbb{C}$ . Entonces $A$ y $B$ son dominios, pero como $x^2 + y^2 = (x + iy) (x-iy)$ factores sobre $\mathbb{C}$ entonces $A \otimes_\mathbb{R} B$ no es un dominio.
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@Zvi creo que esta respuesta en el mismo espíritu que su conjetura podría ayudar, sin embargo. Esta pregunta también está relacionado, aunque de nuevo se trabaja sobre un campo algebraicamente cerrado.