Cómo resolver para$\angle BDC$ dada la información de otros ángulos en la imagen

Question

Quiero resolver para $\angle BDC$, dado $\angle ACB = 26^\circ$, $\angle ABC = 51^\circ$, $\angle BAD = 73^\circ$ e $CD$ biseca $\angle ACB$.

He tratado de resolverlo con el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $180^\circ$, pero parece tan extraño que no puedo obtener la respuesta después de una hora de esfuerzo. Gracias por la ayuda!

Answer 1

En primer lugar, $\angle BAC=180^\circ-\angle ABC-\angle ACB=180^\circ-51^\circ-26^\circ=103^\circ$. Por lo tanto, $$\angle CAD=\angle BAC-\angle BAD=103^\circ-73^\circ=30^\circ\,.$$ Por el trigonométricas de la forma del Teorema de Ceva, $$\left(\frac{\sin(\angle CAD)}{\sin(\angle DAB)}\right)\,\left(\frac{\sin(\angle ABD)}{\sin(\angle DBC)}\right)\,\left(\frac{\sin(\angle BCD)}{\sin(\angle CDA)}\right)=1\,,$$ así $$\left(\frac{\sin(30^\circ)}{\sin(73^\circ)}\right)\,\left(\frac{\sin(x)}{\sin(51^\circ-x)}\right)\,\left(\frac{\sin(13^\circ)}{\sin(13^\circ)}\right)=1\,,$$ donde $x:=\angle ABD$. Esto demuestra que $$\frac{\sin(x)}{\sin(51^\circ-x)}=\frac{\sin(73^\circ)}{\sin(30^\circ)}=2\,\sin(73^\circ)=2\,\cos(17^\circ)=\frac{\sin(34^\circ)}{\sin(17^\circ)}\,.$$ De ello se desprende que $$\frac{\sin(x)}{\sin(51^\circ-x)}=\frac{\sin(34^\circ)}{\sin(51^\circ-34^\circ)}\,.$$ Desde $0\leq x\leq 51^\circ$, es inmediato que $x=34^\circ$. Es decir, $$\angle DBC=51^\circ-34^\circ=17^\circ$$ y $$\angle BDC=180^\circ-17^\circ-13^\circ=150^\circ\,.$$

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En la prueba anterior, se utiliza el siguiente lema. Para ser precisos, el paso, donde llegamos a la conclusión de $x=34^\circ$ sigue a partir de este lema.

Lema. Si $\alpha$, $\beta$, e $\gamma$ son ángulos en $(0,\pi)$ tales que $$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\beta)}=\frac{\sin(\alpha-\gamma)}{\sin(\gamma)}\,,$$ a continuación, $\beta=\gamma$.

Tenemos $$\sin(\beta)\,\sin(\alpha-\gamma)=\sin(\gamma)\,\sin(\alpha-\beta)\,.$$ Es decir, $$\cos(\beta+\gamma-\alpha)-\cos(\alpha+\beta-\gamma)=\cos(\beta+\gamma-\alpha)-\cos(\alpha+\gamma-\beta)\,.$$ En consecuencia, $$\cos(\alpha+\beta-\gamma)=\cos(\alpha+\gamma-\beta)\,.$$ Por lo tanto, $$\alpha+\beta-\gamma=\pm(\alpha+\gamma-\beta)+2n\pi$$ para algunos entero $n$. Es decir, ya $$\beta-\gamma=n\pi\text{ or }\alpha=n\pi$$ para algunos entero $n$, pero desde $0<\alpha<\pi$, llegamos a la conclusión de que $$\beta-\gamma=n\pi$$ para algunos entero $n$. Debido a $-\pi<\beta-\gamma<+\pi$, debemos tener $$\beta=\gamma\,.$$ (However, without the restriction that $\alpha,\beta\gamma\en(0,\pi)$, we can only conclude that either $\alpha$ or $\beta\gamma$ is an integer multiple of $\pi$.)