En el poset de la categoría de los números enteros dividiendo el uno al otro escribimos a veces escribo $\alpha \to x$ en lugar de $\alpha \mid x$.
El "producto" $\alpha \beta$ de dos coprime objetos de $\alpha, \beta$ es tal que $\alpha \to \alpha \beta \leftarrow \beta$ y para cualquier objeto $x$ tal que $\alpha \to x \leftarrow \beta$ entonces no hay una única flecha $\alpha \beta \to x$. Que es precisamente la definición de subproducto en una categoría general.
Así, cuando el $\alpha, \beta$ son coprime, entonces la categoría definitivamente tiene un subproducto para ellos.
Por lo tanto $\wedge$ está codificado en el hecho de que $\alpha \to x \leftarrow \beta$, es decir,. ambos morfismos existen simultáneamente. Creo que el producto es $\gcd(\alpha, \beta)$.
En realidad, resulta que el subproducto existe para cualesquiera dos enteros y es $\text{lcm}(\alpha, \beta)$.
Primalidad es difícil debido a las $\vee$. Para crear una nueva definición. Una flecha en un subproducto es primo cuando existe una morfismos en al menos uno de los subproducto de los componentes de la tha el correspondiente triángulo desplazamientos.
Observe que hemos utilizado subproducto aquí, que es $\text{lcm}(\alpha, \beta)$ desde la definición de prime es equivalente a $p \mid \text{lcm}(\alpha, \beta) \implies p \mid \alpha \vee p \mid \beta$.
Así que tome el contrapositivo de que. $p \nmid \alpha \wedge p \nmid \beta \implies p \nmid \text{lcm}(\alpha, \beta)$.
Los "negados" poset categoría de enteros no dividir el uno al otro. Está formada por la asignación de cada hom-establecer $\varnothing$ cuando es no vacío y vise-versa, así que no es un functor de la categoría original.
