El límite $\lim_{x \to 0-} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 } dt$

Question

Hace un tiempo me derivada de la siguiente expresión válida para $x>0$:

$$\sum_{n=1}^\infty e^{-(n+x)^2}= \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 } dt$$

Mientras que la integral no convergen $x=0$, tiene un derecho de límite:

$$\lim_{x \to 0+} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 } dt=\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2}=\frac{1}{2} \left(\vartheta _3\left(0,\frac{1}{e}\right)-1\right)$$

Pero, a pesar del hecho de que la integral converge para $x<0$, converge a un límite diferentes desde el lado izquierdo, como puede ser visto desde el punto de vista numérico de la parcela por Mathematica:

Sorprendentemente, por integración numérica con Mathematica, parece que tiene:

$$\lim_{x \to 0-} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 } dt \approx -\frac{1}{2} \left(\vartheta _3\left(0,\frac{1}{e}\right)+1\right)$$

En otras palabras, los límites están relacionadas como $L^- = -1-L^+$. Es esto correcto? Y ¿por qué?

Aquí está la derivación de la primera igualdad https://math.stackexchange.com/a/2751575/269624.

Answer 1

Tenemos \begin{align} L^- &=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 } dt\\ &=\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{e^{-2x} \cos t-1}{e^{-4x}-2e^{-2x} \cos t+1 } dt\\ &=\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{e^{2x} \cos t-e^{4x}}{1-2e^{2x} \cos t+e^{4x} } dt \end {align} por lo tanto \begin{align} L^++L^- &=\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} \frac{-1+2e^{2x} \cos t-e^{4x}}{1-2e^{2x} \cos t+e^{4x} }dt\\ &=-\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty e^{-t^2/4} dt\\ &=-1 \end {align} por el bien conocido $\int_0^\infty e^{-t^2/4}dt=\sqrt\pi$ .

Answer 2

La parte problemática es $\frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 } $ .

Reescribe $$\frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 }=\frac{\left(e^{2x} \cos t-1\right)-e^{2x}\left(e^{2x}-\cos t\right)+e^{2x}\left(e^{2x}-\cos t\right)}{e^{2x}\left(e^{2x}-\cos t\right)-\left(e^{2x}\cos t-1 \right)},$ $ lo que da $$\frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 }= -1-\frac{e^{2x}\left( \cos t-e^{2x}\right)}{1-2e^{2x} \cos t+e^{4x}}.\tag 1$ $

Establezca $h=-x$ para $x<0$ y calcule $$\frac{e^{2x} \cos t-1}{e^{4x}-2e^{2x} \cos t+1 }=\frac{e^{-2h} \cos t-1}{e^{-4h}-2e^{-2h} \cos t+1 }= \frac{e^{2h}\left( \cos t-e^{2h}\right)}{1-2e^{2h} \cos t+e^{4h}}.$$ Compare with $ (1). $