Simpléctica revertir diffeomorphisms

Question

Deje $(M,\omega)$ ser un equipo compacto simpléctica colector.

Hay un diffeomorphism $f$ M $f^{*}\omega =-\omega$?

Answer 1

Graves gracias a la ardilla a la idea de pensar acerca de las cosas con límite y la señal de que el 2-formulario de abajo no es exacta, y a Pablo Plummer por ayudarme a encontrar el asimétrica hiperbólico colector.

La respuesta a tu pregunta para colectores con el límite es no. Aquí está una (no muy explícito!) de la construcción.

1) Kojima demostró la existencia de cerrado orientado hiperbólico 3-variedades con finito dado isometría grupo $G$ en su papel de "Isometría de transformaciones hiperbólicas de las 3-variedades". En particular, podemos tomar $G$ a ser el trivial grupo. Porque hiperbólico colectores se $K(\pi,1)$s, homotopy clases de mapas de $Y \to Y$ son clasificados por la homomorphism inducen en el grupo fundamental. Mostow rigidez y la suposición de que $\text{Isom}(Y) = 1$ implica que el $\text{Out}(\pi_1(Y)) = 1$, y por lo tanto todos los automorphism de $\pi_1(Y)$ es la interior, y por lo tanto induce el mapa de identidad en $H_1(Y) = \pi_1(Y)^{ab}$. La connaturalidad de la dualidad de Poincaré implica que cada orientación de la preservación de la auto-homeomorphism $Y \to Y$ induce la identidad en $H^2(Y)$. En Kojima de la construcción, podemos tomar la $b_1(Y) > 0$. Debido a $Y$ es hiperbólica, $Y$ debe ser irreductible.

Así que de ahora en adelante vamos a $Y$ ser un cerrado irreducible orientadas 3-colector con $b_1(Y) > 0$ y de tal manera que todos los de la orientación de la preservación de la auto-homeomorphisms de $Y$ inducir el trivial mapa en $H^2(Y)$.

2) Gabai demostrado que si $Y$ es un cerrado, orientado, irreductible 3-colector con un valor distinto de cero número de Betti, a continuación, $Y$ admite un orientable tensa foliación (con un cerrado de la hoja). (Ver "las Foliaciones y la topología de las 3-variedades"; este es un corolario de su teorema 5.5 y nuestra suposición de que $b_1(Y) > 0$.) Así que nuestro $Y$ por encima de los soportes de un tenso de la foliación. Una definición equivalente a la afirmación de que una (co-orientable) 2-plano de distribución de $\xi$ da una tensa la foliación es que hay una transversal de campo vectorial $X$ $\xi$que conserva algunos de volumen de forma $\Omega$. Esto es similar a la segunda definición equivalente aquí. Esto es visto inmediatamente a ser equivalente a la afirmación de que existe un cerrado 2-formulario de $\omega$ $Y$ tal que $\omega \big|_{\xi}$ está en ninguna parte de cero. En particular, si nos orientamos $\xi$, podemos tomar $\omega$ positivo en los $\xi$. Ahora vemos que $\omega$ no es exacto: para restringir a uno de los cerrados de las hojas; porque es positivo en su tangente paquete, debe ser una forma de volumen para el cerrado de la hoja, y por lo tanto no pueden ser exactas.

Así que vamos a $\xi$ ser un 2-plano de distribución en $Y$ $\omega$ tal cerrado 2-forma.

3) Esta construcción es de Eliashberg y Thurston de la monografía "Confoliations". Deje $\alpha$ ser una 1-forma tal que $\text{ker}(\alpha) = \xi$. Considere la posibilidad de $Y \times I$ y el 2-formulario de $\omega_\varepsilon = p^* \omega + \varepsilon d(t p^*\alpha)$. Para $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño, esta es no degenerada. $\xi \times \{0,1\}$ tiene una canónica de la orientación como un 2-plano de distribución en el límite de un simpléctica colector, y vemos que $\omega_\varepsilon$ es positivo en $\xi \times \{0,1\}$ $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño. Seleccionar un contacto de la estructura de $\xi'$ $Y$ $C^0$ cerca de $\xi$; a continuación, la discusión anterior se aplica a este. Esto se llama un simpléctica semi-relleno de contacto del colector de $(Y,\xi')$.

4) Debido a que $(Y \times I, \omega_\varepsilon)$ es un simpléctica de llenado de $(Y, \xi')$, este artículo de Eliashberg muestra que podemos tapa de la parte derecha de tal manera que la forma simpléctica $\omega_\varepsilon$ se extiende a una forma simpléctica, decir $\omega'$, en un mayor colector de $M$ cuyo límite es $Y$. Hemos construido un simpléctica colector $M$ cuyo límite es $Y$. Este es nuestro deseado simpléctica colector.

5) Ahora supongamos que hubo un diffeomorphism $f: M \to M$ tal que $f^*\omega' = -\omega'$. Esta sería la orientación de la conservación, debido a que $\omega \wedge \omega$ es una forma de volumen de $M$. A continuación, $f$ restringe a una orientación en la preservación de diffeomorphism de sus límites (porque envía hacia el exterior vectores normales hacia vectores normales). Por hipótesis de $\omega'$ restringe a la 2-forma$\omega$$Y$, nuestra suposición de que $f: M \to M$ $f^* \omega' = -\omega'$ significa que $f\big|_Y : Y \to Y$$f\big|_Y^* \omega = -\omega$. El recuerdo de 1) que todos los de la orientación de la preservación de homeomorphisms de $Y$ inducir la identidad en $H^2(M)$. Debido a $\omega$ no es exacta, esto se contradice con la existencia de $f$! Por tanto no se $f$ en nuestro colector $M$.

Tenga en cuenta que en la construcción de $M$, hubo una cierta simetría: se podría haber construido $[-1,1] \times Y$ y cerró ambos extremos a través de Eliashberg del resultado. Uno podría esperar que ese doble también llevar un simpléctica forma que no admite una $\omega$inversión diffeomorphism; tal vez persiguiendo a través de las pruebas y haciendo todo lo que aquí un poco más de forma constructiva permitiría a uno para comprobar que no es así.