Estaba jugando el otro día y encontré que la función
$$t\to f(t), f(t)=\frac{\partial}{\partial t}\left\{\sin(\sin(\pi t))\right\}$ $ parecía estar muy cerca de la onda triangular. ¿Hay alguna explicación intuitiva para esto? 
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
ILIV
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La referencia a la serie de Fourier es útil para entender la "curiosidad" de comportamiento. Así que, antes de cualquier intento de explicación, un breve recordatorio de que es necesario.
La serie de Fourier de la onda triangular como el dibujado en Mathreadler la gráfica es : $$y(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(\pi nx)$$ $$a_n=2\int_0^1 \pi(1-2t)\cos(\pi nt)dt=\frac{8}{\pi n^2}\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)-\pi n\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\right)$$ $$a_0=a_2=a_4=…=0$$ $$a_1\simeq 2.546\quad;\quad a_3\simeq 0.283\quad;\quad a_5\simeq 0.102\quad;\quad a_7\simeq 0.052\quad;\quad \text{etc.}$$ Si tomamos el primer plazo, la curva es una sinusoide pura $\quad 2.546\cos(\pi x)$ : La curva negra en la siguiente figura.
Si tomamos más y más términos, la curva tiende a ser el triángulo de la función de onda.
Dos términos $\quad 2.546\cos(\pi x)+0.283\cos(3\pi x)$ : La curva de color verde.
Tres términos de $\quad 2.546\cos(\pi x)+0.283\cos(3\pi x)+0.102\cos(5\pi x)+$ : La curva de color rojo.
Cuatro términos $\quad 2.546\cos(\pi x)+0.283\cos(3\pi x)+0.102\cos(5\pi x)+0.052\cos(7\pi x)$ : La curva azul.
Esto hace entender que uno puede obtener una curva como una onda triangular con sólo unos pocos términos, si no estamos exigiendo mucha precisión.
Por ejemplo, ¿cómo tener un "casi onda triangular" con sólo dos términos y que $y(-1)=-\pi$ e $y(0)=\pi$ e $y(1)=-\pi$ , etc. ? $$y(x)=A\cos(\pi x)+(\pi-A)\cos(3\pi x)$$
El error cuadrático medio se obtiene para el valor mínimo de $$\int_0^1 \left(A\cos(\pi x)+(\pi-A)\cos(3\pi x)-\pi(1-2x) \right)^2dx$$ La derivada con respecto al $A$ es nulo. Después de un par de cálculo el resultado es $$A\simeq 2.703$$ $$y(x)=2.703\cos(\pi x)+0.439\cos(3\pi x)$$
Esto permite entender que no es difícil encontrar que muchas de las funciones que son "casi onda triangular".
Uno de los más simples es $y(x)=2.703\cos(\pi x)+0.439\cos(3\pi x)$. Pero muchos otros, basado en más complicadas fórmulas pueden hacer igual de bien o incluso mejor. La serie de Fourier será el primero de los términos cerca de los términos de la anterior.
Por ejemplo, la función de $$y(x)=\pi \cos(\sin(\pi x))\cos(\pi x)$$ cual es la derivada de la $\sin(\sin(\pi x))$
tiene la serie de Fourier con coeficientes : $$a_0=a_2=a_4=…=0$$ $$a_1\simeq 2.765\quad;\quad a_3\simeq 0.369\quad;\quad a_5\simeq 0.008\quad;\quad \text{etc.}$$
Vemos que los coeficientes están en el rango correcto para un "casi onda triangular", pero un poco menos precisa que la del ejemplo anterior.
Por supuesto que es un buen logro haber encontrado la función $y(x)=\pi \cos(\sin(\pi x))\cos(\pi x)$. Pero debemos ser conscientes de que una gran cantidad de funciones son propensos a tener un comportamiento similar, como "casi onda triangular".
