¿Los mapas internos de conservación del producto son siempre lineales?

Question

Deje $E,F$ ser Pre-Hilbert espacios y $T: E \rightarrow F$ ser un mapa en el que se conserva en el interior del producto, que es $\langle Tu , Tv \rangle = \langle u , v \rangle$ para todos los $u,v \in E$. Debe ser cierto que la $T$ es lineal? Si $T$ es surjective uno tiene

$$\langle T(\lambda u+v), Tw\rangle = \langle \lambda u + v, w \rangle = \lambda \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle = \langle \lambda Tu, Tw \rangle + \langle Tv, Tw \rangle \iff \langle T(\lambda u + v) - \lambda T u - Tv, Tw\rangle = 0$$

Ahora desde $T$ es surjective uno puede elegir $Tw$ a $ T(\lambda u + v) - \lambda T u + Tv$, y positiva de la determinación de la linealidad de la siguiente manera. Puede que esto de alguna manera ser extendido si $T$ no surjective?

Answer 1

Aquí hay una breve prueba. $$ \begin{split} \|T(\lambda u + w) - \lambda T(u) - T(w) \|^2 &= \langle T(\lambda u + w) - \lambda T(u) - T(w) , T(\lambda u + w) - \lambda T(u) - T(w) \rangle\\ &=\langle T(\lambda u + w) , T(\lambda u + w) \rangle + \text{more such terms}\\ &= \langle \lambda u + w , \lambda u + w\rangle + \text{more such terms}\\ &= \langle (\lambda u + w) -\lambda u-w, (\lambda u + w) -\lambda u-w\rangle= 0. \end {split} $$ En el segundo paso, aplicamos la linealidad del producto interno para llegar a una suma de términos del tipo $\langle T(a),T(b)\rangle=\langle a,b\rangle$ . En el último paso, volvemos a colocar todo en un producto interno.