¿Por qué no podemos demostrar la consistencia de ZFC como podemos hacerlo con PA?

Question

Puede que sea una pregunta tonta, pero me preguntaba: La AP no puede demostrar su consistencia mediante los teoremas de incompletitud, pero podemos "salirnos" y exponer un modelo de ella, a saber $\mathbb{N}$ así que sabemos que la AP es consistente.

¿Por qué no podemos hacer esto con ZFC? He visto cosas como "si $\kappa$ es [algún cardinal grande] entonces $V_{\kappa}$ modelos ZFC", pero estos provienen de un "si".

¿Se trata de un caso en el que todavía no hemos sido capaces de hacerlo, o hay una buena razón por la que simplemente no es posible?

Answer 1

El problema es que, a diferencia de lo que ocurre con la AP, básicamente todos los razonamientos matemáticos aceptados pueden formalizarse en ZFC. Cualquier prueba de la consistencia de ZFC debe venir de un sistema que es más fuerte (al menos en algunos aspectos), por lo que debemos ir fuera de las matemáticas formalizables en ZFC, que es la mayor parte de las matemáticas. Esto es igual a cómo salimos de las matemáticas formalizables por PA para demostrar la consistencia de PA (digamos, trabajando en ZFC), excepto que las matemáticas formalizables por PA son un subconjunto mucho más pequeño y relativamente no controvertido de las matemáticas. Por lo tanto, es una opinión común que la consistencia de PA es un hecho establecido mientras que la consistencia de ZFC es conjetural. (Como mencioné en un comentario, como una gran simplificación, "verdad matemática establecida (entre los matemáticos clásicos de la corriente principal)" corresponde aproximadamente a "demostrable en ZFC"... La Con PA lo es mientras que la Con ZFC no lo es).

En cuanto a probar la consistencia de ZFC, como mencionas, podríamos ir a un sistema más fuerte donde hay un axioma que da la existencia de cardinales inaccesibles. Trabajar en Morse-Kelley es otra posibilidad. En cualquier caso, estás en la misma posición con el sistema más fuerte que con ZFC: no puedes usarlo para probar su propia consistencia, y como has hecho suposiciones más fuertes, tienes un mayor "riesgo" de inconsistencia.

Answer 2

Usar ZFC más el axioma "Existen cardinales fuertes inaccesibles incontables" para dar un modelo de ZFC es exactamente el mismo tipo de "paso fuera" que cuando se usa ZF para hacer un modelo de PA.

Answer 3

Por supuesto que sí. Y eso es lo que hacemos.

Para "salir de $\sf PA$ " significa que usted asume la consistencia de una teoría mucho más fuerte, por ejemplo $\sf ZFC$ que le permite construir $\Bbb N$ como un objeto y demostrar que satisface $\sf PA$ .

Cuando usted dice "asumir que $\kappa$ es un cardinal tal que $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$ " usted dice efectivamente "Estamos saliendo de $\sf ZFC$ en una teoría " $\sf ZFC+\varphi$ para un axioma adecuado $\varphi$ y ahí podemos encontrar un modelo de $\sf ZFC$ .

De hecho, cuando se asume algo como $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$ Incluso se puede encontrar un modelo bastante canónico de $\sf ZFC$ : $L_\alpha$ para los menos $\alpha$ satisfaciendo $\sf ZFC$ , donde $L_\alpha$ es el $\alpha$ paso en el jerarquía construible . En cuanto a por qué existe, esa es otra cuestión. Pero está ahí.

Answer 4

Tienes razón (en tus comentarios) en que "sabemos que la AP es consistente", en realidad no es porque haya una prueba/justificación absoluta de esa afirmación. Sin embargo, es muy engañoso pensar que la consistencia de PA es del mismo tipo de cuestión que la consistencia de ZFC.

En primer lugar, numerosos verificable empíricamente Las afirmaciones sobre los números naturales (a través de alguna codificación en medio físico) pueden ser y han sido demostradas usando nada más que PA, como el pequeño teorema de Fermat, que implica la corrección del cifrado y descifrado HTTPS, que estás usando ahora mismo para leer esta página web. En este sentido, parece que hay una interpretación bastante concreta de PA en el mundo real, al menos una aproximada (aunque falle más allá de algún tamaño enorme). Por lo tanto, incluso si PA no tiene una interpretación exacta en el mundo real, es posible que nunca observemos un fallo de PA en forma de una prueba explícita de que $0=1$ (porque no hay ninguna prueba corta de ello). Así, en cierto sentido, la coherencia de la AP puede justificarse empíricamente basándose en el mundo real.

Por otro lado, ZFC no goza de un estatus ontológico o empírico similar, excepto por el hecho de que puede capturar elegantemente lo que los matemáticos han estado haciendo durante siglos y no se ha encontrado ninguna inconsistencia en ZFC (esto es algo empírico). Parece que no hay una justificación no circular de ZFC en su conjunto. Por ejemplo, si se utiliza la jerarquía acumulativa y se da por supuesta la operación de conjunto de potencias y la iteración, todavía no se puede justificar la sustitución completa (véase aquí ). Si se trata el universo como abierto, se puede obtener algún reemplazo, pero entonces no se podría justificar una especificación o un reemplazo no limitados (porque no se puede justificar la buena definición de la cuantificación sobre un universo inacabado).

En segundo lugar, la consistencia está lejos de ser lo que los matemáticos quieren realmente tener. ZFC+¬Con(ZFC) es consistente, y puede demostrar todo lo que ZFC puede, pero todo el mundo (con razón) lo rechaza, porque no es sólido (y lo que es peor, se demuestra a sí mismo que es inconsistente). De la misma manera, aunque ZFC sea consistente, puede no ser sólida. Algunos lógicos tienen dudas.

Y hay otro aspecto de esta cuestión de solidez. No hay ninguna esperanza real de poder definir la "solidez" en sí misma de forma no circular, a menos que nos limitemos a la "solidez aritmética". La razón de esto es, de nuevo, que los números naturales adecuadamente codificados parecen ser la única colección concreta de entidades del mundo real sobre la que podemos hacer y probar varias predicciones. Y, por supuesto, ¡no queremos tener una base matemática que demuestre afirmaciones falsas sobre ellos! Si una teoría de primer orden $S$ es consistente, $S$ no demuestra ninguna falsa $_1$ (frase aritmética con un máximo de $1$ sin límites $\forall$ -en la forma normal de Skolem), pero todavía puede demostrar una falsa $_1$ (con sólo $1$ sin límites $\exists$ -cuantificador). (Por ejemplo, ZFC+¬Con(ZFC) demuestra un falso $_1$ declaración). Así que una vez más vemos que la AF tiene un papel privilegiado en los fundamentos de las matemáticas.

En tercer lugar, el hecho de que la ZFC sea elegante y de que prácticamente todas las matemáticas puedan expresarse y demostrarse en ella no implica que la ZFC tenga "más probabilidades" de ser "correcta" o incluso sólo aritméticamente correcta. Esto se debe a que hay otros sistemas fundacionales incompatibles que también pueden expresar y demostrar prácticamente todas las matemáticas. En otras palabras, gran parte de cada sistema fundacional poderoso simplemente no tiene relevancia para las matemáticas ordinarias. Por ejemplo, Dmitry Mirimanoff introdujo la fundamentación y el rango de los conjuntos, pero nunca consideró que todos los conjuntos estuvieran fundamentados, en contra del axioma de regularidad de ZFC. Y no sólo las matemáticas ajenas a la teoría de conjuntos nunca utilizan la regularidad, sino que no se puede justificar que sea cierta para todas las colecciones (en ningún sentido razonable). Además, los lógicos han investigado teorías de conjuntos no bien fundadas como fundamentos alternativos, tales como El axioma de Aczel y La teoría de conjuntos NF[U] de Quine .