Isomorfismo entre localizaciones de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ y ideal $\langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$ en algún ideal principal

Question

Estoy trabajando a través de los problemas en Dummit y Foote y parece que no puede trabajar (o incluso empezar a) 15.4.15(c) (p.727):

Deje $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ser el anillo de los enteros en el cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ y deje $I$ ser el primer ideal $(2, 1 + \sqrt{-5})$ $R$ generado por $2$$1 + \sqrt{-5}$. Recordar que todo distinto de cero el primer ideal $P$ $R$ contiene un primer $p \in \mathbb{Z}$.

(c) Probar que $I_P \cong R_P$ $R_P$- módulos para cada primer ideal $P$ $R$ pero $I$ $R$ son no isomorfos $R$-módulos.

Parece que podemos empezar por mostrar que si $P$ es un primer ideal de $R$ no contienen 2, $I_P = R_P$

Y además, si $P$ es un primer ideal de $R$ que contiene 2$P=I$$I_P = (1+ \sqrt{-5})R_P$. Esto es como los autores y Trevor sugieren. Sin embargo, estoy seguro de cómo hacer esto.

Answer 1

Cuando $P \ne I$ usted debe ser capaz de mostrar que $I_P = R_P$. Cuando $P = I$ $I_I$ es el máximo ideal del DVR $R_I$. En un DVR el ideal maximal es principal así $I_I = \pi R_I$ $\pi$ elemento. Como un $R_I$ módulo, esto es isomorfo a $R_I$ vía el mapa $x \mapsto \pi x$.