¿De cuál de las constantes A, B, C, D depende T?

Question

Deje$f(x)=cos(5x)+Acos(4x)+Bcos(3x)+Ccos(2x)+Dcos(x)+E$ y$T=f(0)-f(\pi/5)+f(2\pi/5)-f(3\pi/5)+..-f(9\pi/5)$. Luego, de A, B, C, D, ¿de qué depende T?

Consejos por favor! PS: KVPY 2011 pregunta

Answer 1

SUGERENCIA: Puedes escribir$\frac{9\pi}{5}=2\pi-\frac{\pi}{5}$,$\frac{8\pi}{5}=2\pi-\frac{2\pi}{5}$,$\frac{7\pi}{5}=2\pi-\frac{3\pi}{5}$,$\frac{6\pi}{5}=2\pi-\frac{4\pi}{5}$ y ver si ayuda.

Answer 2

Puede haber formas más elegantes, pero aquí está el enfoque 'tonto': Comience por factorizar las variables y puede comenzar a ver un patrón muy pronto.

$$ \begin{align}f(x)=&\cos(0)-\cos(\pi)+\cos(2\pi)-\ldots\\ &+A\left(\cos(0)-\cos\left(\frac{4}{5}\pi\right)+\cos\left(\frac{4}{5}2\pi\right)-\cos\left(\frac{4}{5}3\pi\right)+\ldots\right)\\ &+B\left(\cos(0)-\cos\left(\frac{3}{5}\pi\right)+\cos\left(\frac{3}{5}2\pi\right)-\cos\left(\frac{3}{5}3\pi\right)+\ldots\right)\\ &+C(\ldots)\\ &+D(\ldots)\end {align} $$

Alternativamente escrito de una manera más compacta:

PS

Ahora necesitas saber cómo se comporta$$\begin{align}f(x)=&\sum_{k=0}^9 (-1)^k \cos(k\pi)\\&+A\sum_{k=0}^9 (-1)^k\cos\left(\frac{4}{5}k\pi\right)\\&+B\sum_{k=0}^9(-1)^k\cos\left(\frac{3}{5}k\pi\right)\\&+C\sum_{k=0}^9(-1)^k\cos\left(\frac{2}{5}k\pi\right)\\&+D\sum_{k=0}^9(-1)^k\cos\left(\frac{1}{5}k\pi\right)\end{align}.$, contar ángulos y debes hacerlo.

Answer 3

Dado$$f(x) = \cos 5x+A\cos 4x+B\cos 3x+C\cos 2x+d\cos x+E$ $

Usando$$f(\pi-x) = f(\pi+x)\Rightarrow f(x) = f(2\pi-x).$ $

Así obtenemos$$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{5}\right)=f\left(\frac{9\pi}{5}\right)\;\;\;,\;\;\; \displaystyle f\left(\frac{2\pi}{5}\right)=f\left(\frac{8\pi}{5}\right)$ $

y$$\displaystyle f\left(\frac{3\pi}{5}\right)=f\left(\frac{7\pi}{5}\right)\;\;\;,\;\;\; \displaystyle f\left(\frac{4\pi}{5}\right)=f\left(\frac{6\pi}{5}\right)$ $

Ahora$$T=f(0)-2\left[\displaystyle f\left(\frac{\pi}{5}\right)+f\left(\frac{3\pi}{5}\right)\right]+2\left[\displaystyle f\left(\frac{2\pi}{5}\right)+f\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right]-f(\pi)$ $

Ahora$$f(0)-f(\pi) = 2\left[...\right]$ $

y$$f\left(\frac{\pi}{5}\right)+f\left(\frac{3\pi}{5}\right) = 2\left[...\right]$ $

y$$f\left(\frac{2\pi}{5}\right)+f\left(\frac{4\pi}{5}\right) = 2\left[...\right]$ $