Función de dos y tres puntos de campos primarios de campos arbitrarios

Question

Estaba mirando este documento hep-th/0011040 y encontré la siguiente ecuación:

$$ \langle C_{\mu_1 \dots \mu_l} \mathcal{O}^{\mu_1 \dots \mu_l}(x_1) D_{\nu_1 \dots \nu_l} \mathcal{O}^{\nu_1 \dots \nu_l}(x_2)\rangle $$$$ = \dfrac{1}{|x_1 - x_2|^{2\\eta} C_{mu_1 \\\Npuntos \Nmu_l}I^{\Nmu_1 \Nnu_1}(x_{12}) \Npuntos I^{{\Nmu_l \Nmu_l}(x_{12}) D_{\N1 \Npuntos \Nmu_l}, \Nconforme{2.6}$$

donde el $\mathcal{O}$ son de tipo spin $\ell$ operadores primarios simétricos sin traza de dimensión $\eta$ y

$$ I^{\mu \nu}(x) = \delta^{\mu \nu} - 2\dfrac{x^\mu x^\nu}{x^2}. \tag{2.7}$$

¿Podría alguien decirme cómo se llega a este resultado, o alguna referencia donde se haya dado esto? También estoy interesado en entender la derivación análoga para $3$ -funciones de punto.

Answer 1

Nota: ver comentarios para la generalización de los campos escalares a los espines superiores.

Haré el $2$ -y dejar el $3$ -señala uno como ejercicio. La referencia canónica que estoy utilizando es Di Francesco, Mathieu y Senechal . Se trata de una lectura casi obligatoria si se está interesado en la teoría de campos conformes.

Dejemos que $\phi_1$ y $\phi_2$ sean dos campos primarios. Entonces, por definición, sus transformaciones conformes son

$$\phi_1(x_1)=\left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|_{x=x_1}^{\Delta_1/d}\phi_1(x_1')$$

donde $d$ es la dimensión del espaciotiempo y $\Delta_1$ la dimensión de escala del campo. Hay una fórmula similar para $\phi_2$ . Ahora bien, como la medida y la acción en la integral funcional son conformes invariantes, podemos promover la transformación anterior a una de la función de correlación, a saber.

$$\langle\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\rangle=\left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|_{x=x_1}^{\Delta_1/d}\left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|_{x=x_2}^{\Delta_2/d}\langle\phi_1(x_1')\phi_2(x_2')\rangle$$

Ahora empezamos a especializarnos en simetrías específicas. Ya desde la simetría rotacional y traslacional sabemos

$$\langle\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\rangle=f(|x_1-x_2|)$$

Ahora usando una transformación de escala $x\to \lambda x$ en nuestra fórmula anterior produce

$$f(|x_1-x_2|)=\lambda^{\Delta_1+\Delta_2}f(\lambda|x_1-x_2|)$$

pero esto fija la función de correlación hasta una constante, es decir

$$\langle\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\rangle=\frac{C}{|x_1-x_2|^{\Delta_1+\Delta_2}}$$

El último ingrediente es la invariancia bajo transformaciones conformes especiales. Estas tienen

$$\left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|=\frac{1}{(1-2b\cdot x+b^2x^2)^d}$$

Sustituyendo esto en nuestras fórmulas anteriores, se obtiene $\Delta_1=\Delta_2$ . Por lo tanto, hemos demostrado exactamente su primer resultado anterior

$$\langle\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\rangle=\frac{C}{|x_1-x_2|^{2\Delta_1}}$$

si sus operadores tienen la misma dimensión de escala $\Delta_1$ .

Ahora prueba el $3$ -punto utilizando las mismas simetrías que en el caso anterior. Además, piense por qué este método falla en $4$ -punto. Sugerencia: se pueden hacer relaciones cruzadas conformes cuando se tiene $4$ posiciones.

Nota final sobre las dimensiones de la escala

Recuerde que la dimensión de escala no es necesariamente la dimensión ingenua de su campo, incluso en una CFT. Esto se debe a que las correcciones de bucle pueden introducir divergencias aunque exista una simetría conforme global. Varios teoremas garantizan que éstas no renormalizan las masas o los acoplamientos, pero sí provocan una renormalización de la intensidad de campo $\phi \to \sqrt{Z}\phi$ . Normalmente $Z$ conlleva cierta dimensionalidad, de ahí que obtengamos dimensiones anómalas. Este argumento sólo se cae si la simetría conforme es local (como en la teoría de cuerdas) o si el operador está protegido por la supersimetría.