La visualización es algo muy personal y debes elegir lo que te funciona. Las analogías pueden ser buenas, malas pero nunca malas y la ciencia siempre ha utilizado mucho las analogías para dar sus primeros pasos en cualquier campo. En resumen hay que preguntarse:
¿Es útil una visualización?
y, en GTR, soy fuertemente de la opinión de que todas las visualizaciones cotidianas como las bolas en las hojas de goma no son erróneas sino altamente debilitante . Sencillamente, te frenan y dificultan tu progreso intelectual. Si sigues pensando en términos de imágenes visuales, no puedes progresar más allá de esas imágenes, y la relatividad general trata de conceptos geométricos y propiedades del espacio-tiempo que nunca conocemos en nuestra vida cotidiana ni hemos conocido en el mundo que ha conformado nuestra forma de pensar durante nuestra historia evolutiva.
El objeto principal para "visualizar la gravedad" es el tensor de curvatura . El nombre de curvatura es un poco desafortunado en la RG porque sugiere láminas de goma y cosas por el estilo. Es cierto que se corresponde fuertemente con nuestra noción cotidiana de curvatura en objetos unidimensionales y bidimensionales (como un círculo o un globo, respectivamente), pero lo hace de forma que puede generalizarse a dimensiones superiores. El tensor de curvatura mide cómo cambia un vector cuando lo transportas alrededor de una espira mediante el llamado transporte paralelo. Esto significa que piensas en tu bucle como si estuviera hecho de geodésicas a trozos (líneas lo más rectas posible) y, mientras las sigues, mantienes tu vector de prueba en un ángulo constante con respecto a las geodésicas. Al girar hacia la siguiente geodésica a trozos en un vértice del polígono que utilizas para aproximar tu bucle, mantienes el vector de prueba en la misma dirección. Intenta esto en una hoja de papel plana, y el vector se acerca al bucle sin cambiar de dirección. Hazlo en la superficie de la Tierra y hay un cambio de dirección. Pruébalo: Imagina que estás en el ecuador, con tu vector apuntando al sur. Te mueves a lo largo del ecuador de forma que el arco que recorres subtiende algún ángulo $\theta$ en el centro de la Tierra. Ahora gire al Norte, pero mantenga su vector en la misma dirección, de modo que ahora apunte directamente detrás de usted. Ahora viaja en un gran círculo de longitud constante hasta el polo norte, y vuelve por el ángulo $\theta$ para que apunte a su punto de inicio a lo largo de la línea de longitud constante. Ahora vuelve al principio, y encuentra que su vector ha girado un ángulo $\theta$ en ser transportado en paralelo alrededor del bucle. Además, se puede convertir esta rotación en la noción cotidiana de curvatura: el radio de curvatura $R$ viene dada por $R = \sqrt{\frac{A}{\theta}}$ donde $\theta$ es el ángulo de rotación debido al transporte paralelo alrededor de un bucle y $A$ es el área delimitada por el bucle. En la hoja de papel plana se convierte en infinita. Curiosamente, también es infinito para un cono o un cilindro circular, lo que significa que estas superficies pueden desarrollarse, no tienen curvatura intrínseca . Dibuja objetos geométricos en la superficie revelada, luego enrolla la superficie en el cilindro / cono y tus dibujos se someterán isometrías - las longitudes y los ángulos no están distorsionados. Una esfera, en cambio, no puede desarrollarse.
Esta noción de cambio provocado por el transporte paralelo, a diferencia de la noción cotidiana (que es equivalente para objetos curvos bidimensionales), puede generalizarse a dimensiones superiores. En general, la curvatura es una función billineal valorada por la matriz de dos vectores . Se define un pequeño paralelogramo mediante dos vectores (que nombran sus lados) $X$ y $Y$ y luego la función valorada por la matriz $R(X,\,Y)$ escupe una matriz $R$ que te dice cómo un tercer vector $Z$ se transforma mediante el transporte paralelo alrededor del bucle. En símbolos: $Z^\prime - Z = R(X,\,Y)\,Z$ , donde $Z$ y $Z^\prime$ son el vector antes y después del transporte. En la superficie bidimensional de la Tierra, un ángulo de rotación único y simple $2\times 2$ La matriz de rotación define este cambio; de hecho, la función valorada por la matriz puede escribirse
$$R(X,\,Y) = \frac{\det((X,\,Y))}{r^2} \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$$
donde $\det((X,\,Y))$ es el determinante de la matriz con $X$ y $Y$ como sus columnas. Se trata de una rotación infinitamente mínima a través de un ángulo dado por el área del pequeño bucle dividido por el radio de curvatura al cuadrado.
En un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, $R(X,\,Y)$ ya no es una simple rotación infinitesimal, sino una transformación de Lorentz infinitesimal que actúa sobre un vector cuatridimensional en el espacio tangente de la variedad del espaciotiempo, por lo que la imagen es considerablemente más confusa y complicada. Pero la idea básica es exactamente la misma.
Los tensores de curvatura nos permiten calcular cantidades medibles como la suma de los ángulos de los triángulos (que suman menos de media vuelta en un espacio con curvatura negativa) y los volúmenes encerrados por esferas de una superficie/un radio determinados (que difieren de sus valores euclidianos en cantidades que se hacen más grandes a medida que la curvatura/gravedad es más fuerte).
En GTR, si quieres pensar de forma intuitiva, tienes que hacerlo en términos puramente experimentales / de medición: ¿cuál sería la suma de los ángulos de este triángulo, qué superficie tendría esta esfera, qué leería el acelerómetro / reloj de este observador? Hay muchas representaciones gráficas de las matemáticas que describen la relatividad general. Uno de los mejores libros al respecto, en mi opinión, es:
Misner, Thorne y Wheeler, "Gravitación"
Hay un gran número de imágenes, todas ellas dibujadas con cariño y esmero, para muchos conceptos diferentes.
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También podrías intentar ver "Interstellar"... um... pensándolo bien, eso podría ser más confuso que clarificador.
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Todas las visualizaciones de la gravedad que has visto son completamente falsas o están simplificadas. Ni siquiera has visto una visualización correcta del espacio-tiempo plano (es decir, sin gravedad). La razón de esto surge de los teoremas de incrustación en la geometría diferencial. Parece que se necesitan al menos seis dimensiones para mostrar correctamente una métrica plana de cuatro dimensiones y diez o más para integrar completamente el espacio-tiempo curvo. Esto descarta que un ser humano pueda "ver" cómo son estas cosas "realmente".
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Por cierto he visto Interstellar. No ayudó en absoluto. (aunque sigue siendo una gran película)